种群密度调查的数学模型构建

江苏省沭阳高级中学（223600）  陈卫东

所谓数学模型，就是将客观的物理学的或生物学的现象和概念翻译成一套数学关系，用数学的符号和方程式来表示这些现象和概念，并将由此得到的数学系统进行运算和操作，以作出预言。这个数学系统，就称之为数学模型。高中生物新教材种群密度调查相关内容中，有不少数学模型构建的内容：

1．植物种群密度样方调查数学模型：

在要调查的生物群落中，确定一个或数个范围相对较大的区域作为样地；再在样地中随机选取若干个样方（一般采取五点取样法或等距取样法）；然后计数各样方中某种生物的全部个体数量；最后，计算全部样方某种生物个体数量的平均数，通过数理统计，对种群总体数量进行估计。

数学模型如下：N=（N1+N2+N3+……+Nn）/n

模型中各参数的意义：N1、N2、……Nn表示各个样方的调查实际数量，n表示所取的总样方数，N表示各个样方的平均值。

【例题1】某小组学生观察到某大麦田中长有许多狗尾草，还有食草昆虫、青蛙、食虫

鸟和蛇类等动物活动，决定调查农田中大麦与狗尾草的种群密度，并探究各生物之间的关系。调查种群密度时，所取样方为长和宽各 1m的正方形，各样方的统计株数如下表：

根据上表数据，可计算出该农田生态系统中大麦的种群密度估计值为       株/m²；狗尾草的种群密度估计值为       株/m²。

【解答】利用上述数学模型不难计算出该农田中大麦密度估计值为147株/m²；狗尾草密度估计值为6.5株/m²。

２．动物标志重捕数学模型：

标志重捕法是一个有比较明确界限的区域内，捕捉一定量生物个体进行标记，然后放回，经过一个适当时期（标记个体与未标记个体重新充分混和分布后），再进行重捕。根据重捕样本中标记者的比例，估计该区域的种群总数。

数学模型如下：N：M=n：m ⇒N=Mn／m

模型中各参数的意义：N为该区域某种群总数；M为第一次捕获后标记总数，n为第二次捕获总数，m为第二次捕获个体中已经被标记过的个体数。

【例题2】“标志(记)重捕法”是动物种群密度调查中的一种常用取样调查法：在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体(M)全部进行标记后释放，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标记个体数(m)占总捕获数(n)的比例，估计该种群的数量(N)。某研究机构对我国北方草原一种主要害鼠——布氏田鼠进行了调查。调查样方总面积为2hm²。(1hm²=10000m²)，随机布设100个鼠笼，放置l夜后，统计所捕获的鼠数量、性别等，进行标记后放归；3日后进行重捕与调查。所得到的调查数据如下表。

⑴假定重捕取样中标记比例与样方总数中标记比例相等，写出样方中种群总数(N)的计算公式                   。

⑵该草地布氏田鼠的平均种群密度为            只／hm²。事实上田鼠在被捕捉过一次后更难捕捉，上述计算所得的平均种群密度与实际种群密度相比可能会偏    。

⑶综合两次捕获情况，该田鼠种群的性别比例(♀／♂)为          。

⑷在上述调查的同时，还对样方中布氏田鼠的洞口数进行了调查(假设样方中只有这一种鼠)，平均每100m²有3．6个洞口，洞口数与田鼠数的比例关系为           。

【解答】⑴N=Mn／m；⑵144   高；⑶8／9(或32／36)；⑷2.5 ：1。

3．酵母菌数量调查数学模型：

根据新教材的要求，酵母菌数量调查可以通过两种方式来进行计算。

（1）直接记数：估算1mL培养液中含有的酵母菌数量，可以通过记数板直接来记数。

计算的数学模型为：N=（m×n）×10³/（1×1×0.1）

模型中各参数的意义：N为1mL溶液中酵母菌的数量；m为小方格总数；n为每个小方格中酵母菌的平均数；10³为1mL=10³mm³；1×1×0.1为记数板上溶液的体积（1为记数板每边总长，0.1为溶液厚度）。

（2）对比记数法：通过与红细胞对比记数来估计酵母菌数量。

计算的数学模型为：N=（M×n）/ m

模型中各参数的意义：N为1mL溶液中酵母菌的数量；M为已知的红细胞总数；n为每个小方格中酵母菌的平均数；m为每个小方格中红细胞的平均数。

【例题3】甲、乙、丙三位同学均对酵母菌的生长情况进行了探究。甲、乙两位同学先配置了含有酵母菌生长所必须的各种营养成分的培养液，调节到酵母菌生长的最适pH，各取1mL于试管中，接种等量的酵母菌菌种，放在适宜的条件下培养一段时间，进行计数。

（1）甲同学直接取培养液用计数板制成装片，在显微镜下进行计数，观察到的图象如右图所示。已知计数方块每边总长为1mm，涂抹厚度为0.1mm。

①在选择统计对象时，必须做到                           ，                 计算细菌密度时，应取                       。

②若计得每一小格中酵母菌平均为10个，则该1mL培养液中共含有酵母菌约          个。

（2）乙同学用对比法计数，将500个红细胞与该1mL培养液混匀，然后制片观察，进行随机统计，结果如下表，则：

 http://s10/mw690/001PULUAgy6LxARxhih39&690

 ①该1mL培养液共含有酵母菌大约               个。

②甲、乙两位同学统计的结果不一样，可能是因为_____________________________。

【解答】（1）①随机取样；各样方的平均值

②N=（m×n）×10³/（1×1×0.01）⇒（25×10）×10³/（1×1×0.1）⇒2.5×10⁶

（2）①N=（M×n）/ m ⇒（500×100）/20⇒2500个  ②统计时间不同