解读生态系统的数学模型

江苏省沭阳高级中学（223600）  陈卫东

所谓数学模型，就是将客观的物理学的或生物学的现象和概念翻译成一套数学关系，用数学的符号和方程式来表示这些现象和概念，并将由此得到的数学系统进行运算和操作，以作出预言。这个数学系统，就称之为数学模型。高中生物新教材种生态系统相关内容中，有几个涉及数学模型的内容，现予以归纳：

1．植物种群密度样方调查：

背景问题：在要调查的生物群落中，确定一个或数个范围相对较大的区域作为样地，在样地中随机选取若干个样方，计数各样方中某种生物的全部个体数量；最后，计算全部样方单位面积某种生物个体数量的平均数，通过数理统计，对种群密度进行估计。

数学模型：N=（N1+N2+N3+……+Nn）/（n·S）

模型中各参数意义：N1、N2、……Nn表示各个样方的调查实际数量，n表示所取的总样方数，S表示每个样方的面积，N表示调查对象的种群密度。

【例题】某小组学生观察到某大麦田中长有许多狗尾草，还有食草昆虫、青蛙、食虫

鸟和蛇类等动物活动，决定调查农田中大麦与狗尾草的种群密度，并探究各生物之间的关系。调查种群密度时，所取样方为长和宽各 1m的正方形，各样方的统计株数如下表：

根据上表数据，可计算出该农田生态系统中大麦的种群密度估计值为       株/m²；狗尾草的种群密度估计值为       株/m²。

【解答】利用上述数学模型不难计算出该农田中大麦密度估计值为147株/m²；狗尾草密度估计值为6.5株/m²。

2．动物标志重捕：

背景问题：标志重捕法是一个有比较明确界限的区域内，捕捉一定量生物个体进行标记，然后放回，经过一个适当时期（标记个体与未标记个体重新充分混和分布后），再进行重捕。根据重捕样本中标记者的比例，估计该区域的种群总数。

数学模型：N：M=n：m ⇒N=Mn／m

模型中各参数意义：N为该区域某种群总数；M为第一次捕获后标记总数，n为第二次捕获总数，m为第二次捕获个体中已经被标记过的个体数。

【例题】“标志(记)重捕法”是动物种群密度调查中的一种常用取样调查法：在被调查种群的生存环境中，捕获一部分个体(M)全部进行标记后释放，经过一段时间后进行重捕，根据重捕中标记个体数(m)占总捕获数(n)的比例，估计该种群的数量(N)。某研究机构对我国北方草原一种主要害鼠——布氏田鼠进行了调查。调查样方总面积为2hm²。(1hm²=10000m²)，随机布设100个鼠笼，放置l夜后，统计所捕获的鼠数量、性别等，进行标记后放归；3日后进行重捕与调查。所得到的调查数据如下表。

⑴假定重捕取样中标记比例与样方总数中标记比例相等，写出样方中种群总数(N)的计算公式                   。

⑵该草地布氏田鼠的平均种群密度为            只／hm²。事实上田鼠在被捕捉过一次后更难捕捉，上述计算所得的平均种群密度与实际种群密度相比可能会偏    。

【解答】⑴N=Mn／m；⑵144   高

3．种群“J”型增长的：

背景问题：：在食物和空间条件充裕，气候适宜，没有敌害等条件下，种群的数量每年以一定的倍数增长，第二年（代）的数量是第一年（代）的λ倍。

数学模型：N_t=N₀λ^t

模型中各参数意义：N₀为该种群的起始数量，t为时间（代），N_t表示t年（代）后该种群的数量，λ表示该种群数量是前一年（代）种群数量的倍数。

【例题】在营养和生存空间等没有限制的理想条件下，某细菌每20min就分裂繁殖一代。现将该细菌种群（m个个体）接种到培养基上（资源、空间无限），Th后，该种群的个体总数是_________。

【解答】此题中N₀=m，由于细菌为二分裂，即一个产生两个，因此λ为2，Th后共繁殖了T×60/20=3T代，该种群个体总数N_t= m•2^3T。

4．能量流动：

背景问题：能量在各个营养级之间流动时，是逐级递减，单向不循环的。能量在各个营养级之间能量传递是按照一定比例进行的。

数学模型：Q_n+1=λQ_n

模型中各参数意义：Q_n+1表示n+1营养级同化的能量；λ表示从n营养级到n+1营养级的能量传递效率；Q_n表示n营养级同化的能量。

【例题】有5个营养级的一条食物链，若第五营养级的生物体重增加1kg，理论上至少要消耗第一营养级的生物（    ）

A．25kg              B．125kg            C．625kg           D．3125kg

【解答】所谓至少消耗，即是按照最高的效率（20%）传递。设需消耗第一营养级生物x kg，则有（20%）⁴x=1，不难选出正确答案为C项。

本文刊登在《考试报》2012年12月刊