积分变限函数

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且设x为[a,b]上的一点，考察下面函数：

如果上限x在区间[a,b]上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一个对应值，所以它在[a,b]上定义了一个函数，这就是积分变限函数。

注：1.函数变量是x，t为积分变量，两者应注意区别。

2.积分变上限函数和积分变下限函数统称积分变限函数。上式为积分变上限函数的表达式，当x与a位置互换后即为积分变下限函数的表达式，所以我们只讨论积分变下限函数即可。

3.从几何上看，这个积分上限函数Φ(x)表示区间[a，x]上曲边梯形的面积．（如右图）

积分变限函数与以前所接触到的所有函数形式都很不一样。首先，它是由定积分来定义的；其次，这个函数的自变量出现在积分上限或积分下限。

积分变限函数是一类重要的函数，它最著名的应用是在牛顿一莱布尼兹公式的证明中．事实上，积分变限函数是产生新函数的重要工具，尤其是它能表示非初等函数，同时能将积分学问题转化为微分学问题。积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，在许多场合都有重要的应用。

【定理一】若函数f(x)在区间[a,b]上可积，则积分变上限函数在[a,b]上连续。

【定理二】如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，则积分变上限函数在[a,b]上具有导数，并且导数为：

证明过程如下：

如果函数f(x)在区间[a，b]上连续，X0为[a，b]内任一点，则变动上积限积分满足：

注：（1）区间a可为-∞，b可为+∞；

（2）此定理是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量x（不是含x的其他表达式）；第二，被积函数f(x)中只含积分变量t，不含参变量x。

若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则积分变上限函数就是f(x)在[a,b]上的一个原函数。

对数学思想的不断积累并逐渐内化为自己的观念是学习数学的重要目标．积分变限函数除了能拓展我们对函数概念的理解外，它可将积分学问题转化为微分学的问题，在许多场合都有重要的应用．^[1]

变限积分是为引入原函数而提出的，求原函数应是其最基本的应用．

积分变限函数可将积分学问题转化为微分学的问题，这是很重要的一条应用

很多函数的原函数是没有办法用初等函数表示，或者是不容易求出的，这时应用改写变限函数会使问题得以解决。

变量替换是数学中重要的技巧之一，在积分中，变量替换具有特殊的意义，变限积分中的许多问题离开了变量替换就无从下手了，请见例题：