摘要：在当代，数学的影响已经遍及人类活动的所有领域，成为推动人类文明不可或缺的重要因素，从而使得社会也不断对公民的数学素养进而对数学教育提出新的要求。作为一门课程，我们应对数学学科的性质、价值和地位作重新的定位。作为课程的数学，其课堂教学创意的立足点应该着力凸显数学课程的工具价值、基础价值、智能价值和文化价值上。

 

关键词：数学课堂教学  工具价值  基础价值  智能价值  文化价值

 

正文：在当代，数学的影响已经遍及人类活动的所有领域，成为推动人类文明不可或缺的重要因素，从而使得社会也不断对公民的数学素养进而对数学教育提出新的要求。作为一门课程，我们应对数学学科的性质、价值和地位作重新的定位。正如《数学课程标准（实验稿）》所指出的：今天的数学，“是人们生活、劳动和学习必不可少的工具，能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明，数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象；数学为其它科学提供了语言、思想和方法，是一切重大技术发展的基础；数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象能力和创造力等方面有着独特的作用；数学是人类的一种文化，它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。”如上所所述，作为课程的数学，其课堂教学创意的立足点应该着力凸显数学课程的工具价值、基础价值、智能价值和文化价值上。

 

理念之一：数学课堂教学应力求展现数学的工具价值

如何理解数学的工具价值？袁振国先生在其《教育新理念》一书中描述道：“数学是一种工具，是一种将自然、社会运动现象法则化、简洁化的工具。数学本身是人为的，是开放的，是丰富多彩的，一句话，数学是为人所用的。数学学习的最重要的成果就是学会建立数学模型，用以解决实际问题。”、“数学又是训练人的思维的工具，通过学习数学，使人的思维更具有逻辑性和抽象概括性，更精确简洁，更能创造性地解决问题。数学教育的任务当然也是教人掌握、利用这一工具。”

由此可见，数学课堂教学中展现数学的这种工具价值，最有效的着力点就应该体现在帮助学生建立良好的建模意识、掌握一定的思维方法上。

 

教学案例：

课例1——六年级“几何形体”复习课 

师：同学们，刚才我们一起回顾了小学阶段各种几何形体公式的形成过程，并理清了这些基本公式之间的一些联系，有了这些知识，我们就能在图形世界里有进一步的作为。请看屏幕：

题一：在面积为34平方厘米的等腰三角形底边上任意取一点P，设这一点到两腰垂线的长分别是a厘米和b厘米。

①求这个等腰三角形任意一腰上高c的长。

②求a＋b的值。

③根据①和②的结果，请你写出关于所有等腰三角形都具有的一个性质。

 

 

 

 

 

（一）

学生自由解答。

师生交流，突出关键：

①第一小题可以用方程解，也可以直接列式计算：c=34×2÷10=6.8（厘米）。

②在图中添加一条辅助线AP，可列算式：10×a÷2＋10×b÷2=34，化简可得a＋b=6.8（厘米）。

③不管P点在底边上任何一处，都可得到“a＋b＝6.8（厘米）”的结论。由此可得性质：等腰三角形底边上任意一点到两腰的垂线长度之和等于其中一条腰上高c的长度，即c=a＋b。

师：让我们再来看第二小题（屏幕显示）：

一个正方体的体积是20立方厘米，一个圆柱体底面半径和高都

与正方体的棱长相等。我们可以把正方体的棱长设为a，根据题意可知，圆柱的底面半径和高与正方体的棱长相等，都可以用字母a表示。正方体的体积是20立方厘米，也就是V_正=a³=20立方厘米。根据圆柱体的体积公式V_柱=sh，该圆柱体的体积V_柱=sh=πa²·a=πa³=πV_正=（　　）×（　　）=（　　）（立方厘米）。

这种方法我们还可以反用。如果这个圆柱体的体积是125.6立方厘米，正方体的体积是多少？正方体的体积V_正= a³=V_柱÷π=（　　）÷（　　）＝（　　）（立方厘米）。

学生自由解答，并小结此题的核心所在：

在正方体的棱长、圆柱体的底面半径和高都相等的前提下，可以找到如下联系：V_柱=sh=πa²·a=πa³=πV_正

案例透视——

当代科学技术的突出特点是定量化，而定量化的标志就是运用数学思想和方法。精确的定量思维是对当代科技人员的共同要求，数学工具性价值最突出之处就是帮助人们形成一定的定量思维。而定量思维的实质就是从实际中提炼数学问题，抽象为数学模型，用数学计算求出此模型的解或近似解，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，以便得到更广泛和方便的应用。

透视这则案例，我们不难发现，教者除了较好地关注了学生基础知识的理解、掌握的水平和综合运用知识探索解决实际问题的能力外，还有一些作为展现数学工具价值的教学品性。

一、培养了学生的建模意识，训练了其构建简单的“数学模型”的能力。

所谓“数学模型”，一般来说是指用精炼的形式化语言对某个特定问题或特定系统中各元素的关系，系统的本质特征进行数量和结构的描述。它往往是一种数学的思想方法、一组数学关系式，或是一套规律化的算法。比如案例1中的“c=a＋b”，“V_柱=πV_正”，“V_正=V_柱÷π”等等。

小学阶段如何培养学生的建模意识呢？

有意识。从广义讲，一切数学概念、公式和算法系统都是数学模型。可以说，数学建模思想渗透在小学各年级的教材中。因此，只要我们深入钻研数学学习内容，挖掘其中所蕴含的建模“内核”，加以提炼、升华，就能找到数学建模教学的素材。在小学中高年级最显性的“数学建模”素材有：㈠等式中各部分之间的关系。如各种几何形体周长、面积和体积的计算公式，以及这些公式的变形；和、差、积、商各部门之间的关系等。㈡应用题中各种数量间的关系。如甲数是乙数的3倍，乙数比甲数少8，求甲数和乙数分别是多少？依据数量间的关系，可以列出不同的方程。这些方程，就是一些数学模型。㈢各种关系图。解答有关实际问题时，我们常常向直观求助，因此各种实物草图、情境图、线段图等，也都是“数学模型”。㈣各种定律、法则和性质。如商不变的性质、分数的基本性质、比的基本性质，和、差、积、商变化的规律等。

有基础。随着年级的升高，小学中、高年级中就会出现一些现实的实际问题，要能从中发现其本质，转化成数学问题，建立相应的“数学模型”，没有扎实的数学基础知识、基本技能和数学思想方法是不可能的。从掌握知识到应用知识不是一蹴而就的，解决常规问题的能力强，未必解决实际问题的能力就强。因此，在平时教学中要注意从实际问题引入概念和规律，强化基础，引领学生经历学习的全过程，从而为学生建模意识的养成奠基。

有方法。数学建模教学在国际数学界已形成一股潮流，我国在这方面才刚刚起步，现行教材内容（尤其是小学教材）、教学时间以及教师的知识、经验和思维习惯等方面与国际接轨，还有一个转换、适应过程。我们可以采用课内延伸与课外拓展相结合的方式进行。课内延伸，就是结合教材内容，适当对各种知识点进行整合，并使之融进生活背景，就能产生出许多好的“建模题”，如文中所举两例就是在学生学习了三角形的面积计算、正方体和圆柱体的体积计算后编出的“建模题”。课外拓展，可以结合数学综合实践活动进行，如开设讲座、采集数学建模问题、研究建模方案、撰写建模小论文等。

有尺度。对于大多数小学生来说，建模意识的养成目标主要是从数和形的角度去观察和认识周围的事物，在观察问题的过程中使之带有鲜明的“数学色彩”，逐步形成一定的“数学头脑”。因而学生的建模意识和建模能力的培养应带有明显的阶段色彩，切防“越位”现象，给学生带来不必要的学习负担。对于一些好的建模问题，可以将其分解、分步解决。如例1，设计的①和②问就是为学生的第③问的建模搭设的阶梯。还有某些较难的“建模题”，可先在教师的带领下解决某些环节，其具体求解过程可留给学生课后解决，最后再组织学生宣讲、交流或写成小论文，这样既发挥了教师的主导作用，体现了以学生为主体的原则，又培养了学生的探索精神和数学能力。

二、让学生在多重活动中感悟数学思维方法的奇妙

数学思维方法就是数学思维活动中运用的基本方法，如观察与实验、比较与分类、分析与综合、归纳与演绎、类比与猜想等。在解决实际问题的过程中，数学思维方法所带来的应用价值是直接而有效的。

当下的课堂教学，偏重于对结论的解释与整理，缺少自主探索、合作学习、独立获取知识的机会，也就缺少运用侧重于探索、发现性的数学思维方法的机会。其实，数学思维方法在学生认知结构中的切入，绝非严肃的命令或简单地告诉就能奏效，而应该在具体可感、富含挑战性的问题情境中，借助教师有效的引导才能化为学生的数学素养。在案例1的教学中，教者在学生经历了圆柱体积公式的来由及运用之后，让学生回顾圆面积公式的推导过程，把圆面积公式的推导过程与圆柱体的体积公式的形成过程进行对比，找出两者相互关联的成份，并进而引导学生感悟圆面积公式推导中所运用的思想方法（化曲为直、化圆为方）对学习圆柱体积推导的导向性、提示性作用，这样，学生“饮水思源”，比较与类比等思维方法才能与知识同步走进他们的认知视野之中，才能体悟到其在解决一些实际问题中的直接效用。

 

理念之二：数学课堂教学不能忽视数学的基础价值

数学的基础价值是在数学工具价值的基础上提出的。《数学课程标准》指出：“数学为其它科学提供了语言、思想和方法。”它是一切重大技术发展的基础。教学中应该突出数学思想和方法、解决问题的策略和应用的意识，以真正帮助学生学会用数学方法思考，形成数学的思维、积极的情感态度与健全的人格。 

教学案例：

案例2——“消费与策略” 

一、提出问题

1、谈话导引

师：上星期骆老师发给大家一张调查表，请同学们利用休息天和家长去商店购物时，了解一下商家促销商品有哪些广告，你家里的人对这些信息是怎样反映的。你们做了吗?

……

2、提出问题。

师：老师和同学们一样，也去了解了一些商店商品大酬宾活动的信息，现在介绍给你们。

⑴用多媒体投影展示以下信息。（出示图文）

A商场“满100元送30”’；B超市“全场7折”；C百货大楼“全场5折起”。

⑵提出问题。

师：看了这些广告，假如李阿姨想买一件140元的羊毛衫，应该到哪家商店去买呢?（学生们七嘴八舌地议论开了）

师：“满100元送30”、“全场7折”、“全场5折起”，根据你的经验是怎样理解的?让我们一起来研究一下，给李阿姨提出建议，好吗?

二、探究学习

1、小组学习，了解含义。

师：先请大家在组里提出自己的建议，并说出理由议一议。 （学生在小组里积极发言，提出自己的见解，并进行争论）

2、反馈讨论，展示沟通。

师：现在我们把议论的意见说一说，大家听一听有什么建议。

生1：我们的意见是到C百货大楼去买，因为打5折，这件羊毛衫只要70元就可以了。

生2：我们开始和他们想得一样，后来发现广告是全场5折起，说明不同的商品打折是不同的，羊毛衫不一定是5折。还是到B超市去买全场7折，只要98元，可以便宜42元，又比较保险。

生3：我们的意见是最好先到两家商店去看一看，如果羊毛衫的品牌一样，C百货大楼是7折以下就买，如果是7折以上还是到B超市去买合算。

师：你们有没有想到A商场去买的?为什么？

生1：满100元送30元，一件羊毛衫140元，只能送30元，实际上只便宜了30元。

生2：满100元送30元，送的30元是券不是钱，这张券拿到别的商店是用不来的。

生3：满100元送30元，买羊毛衫时先要付140元，拿到30元的一张券，而这张券有时只能买指定的东西，或用来当餐券，不如打折实惠。

师：通过研究讨论，我们搞清了广告的意思，为李阿姨提出了很好的意见。大家很能干，李阿姨还有几个问题，想请你们再帮帮忙。

多媒体投影显示下列各题：

⑴我在C百货大楼买了一件外套，原价200元，现价150元。这件外套打的是几折?

⑵王大妈在C百贷大楼按6折买了一条裤子，付出72元，裤子的原价是多少元?

……

师：通过计算，你们发现折扣、原价、现价这三者之间的关系吗?谁来概括一下?（指名回答）

生：原价×折扣＝现价   现价÷原价＝折扣   现价÷折扣＝原价

师：大家学得很好，接下来让我们运用这些知识再来解决一些问题。

……

四、方案设计

出示A商场和B超市部分家用电器价格表（每个小组一份)及练习纸。

小明家要搬新房子，准备购买一些家用电器。

说明：A商场满1000元送250；B超市全场8折

⑴请你为小明设计购物方案，选择购物商家。

⑵说说你们是怎样确定购物方案的?

⑶估计金额多少元。

 

案例透视——

透视本案例的教学，可以品读出作为表达“基础”价值的数学课堂力求追求的教学意蕴，也为我们的教学实践提供了新的启迪。

让数学思想充盈学生的智慧。哲学家、教育家怀海特说：“在你丢失你的课本、焚毁你的听课笔记，忘记你为考试所作的准备之前，你的学习是无用的。”这时的学习留给学生才是对他的终身发展有用的素养。这种素养可以理解为数学的思想、方法，可以理解为学生为探索真理所经历的刻骨铭心的体验和感受。因而，在让学生在对待实例的观察、试验、分析、归纳、抽象、概括或探索推理的过程中，看到知识背后负载的方法、蕴涵的思想，并注意结合具体环节，点化学生领悟这些思想和方法，那么学生所掌握的知识才是生动的，鲜活的，可以迁移的，学生的数学素质才能得到飞跃。在案例2中，通过“帮李阿姨买一件140元的羊毛衫，应到哪家商场去买？”、“帮小明设计购物方案”等实际问题的解决，为学生数学经验的丰富、解题技能的提高做着奠基，学生不是在学教材“给定的知识”，而是在解决自己“感兴趣的问题”；教师也不是在教“数学知识”，而是就“购物问题”与学生作一次深入的“对话”。

让基本的数学知识、经验深扎于学生的认知结构。无数实践经验表明，扎实的基本知识和基本技能正是东方学生进一步学习和发展的优势，任何漠视基础搞“空中楼阁”的教学行为都是无效而可悲的。案例2虽研究的是“消费与策略问题”，且全部教学现场都是让学生“走进”商场“学数学”，较具开放和现实性，但老师并没有游离于数学之外，在活动中随处可见基础知识锤打的痕迹。学生在交流商品销售信息，在了解商家促销常见的优惠措施，知道其中的含义和具体做法；让学生在“这件外套打的是几折、裤子的原价是多少元？”的问题情境中，调用原有知识基础进行演算，实现了从“原价×折扣＝现价，现价÷原价＝折扣，现价÷折扣＝原价”的知识建构。

突出应用意识的养成。从数学的角度描述客观事物与现象，寻找其中与数学的关联，是主动运用数学知识和方法解决实际问题的重要环节。如案例2中，教师结合学生已经掌握了百分数应用题的解题方法，把学生带到丰实多姿的生活世界，学生不仅要灵活运用数学知识在“原价”、“现价”、“折扣”之间建立起逻辑关系，更要结合经验用数学的眼光去剖析“全场七折”、“买满100元送30元”、“全场5折起”的现实意义。可见，这样的设计不仅拓展了学生的经验系统，也拓展了学生的认知系统，真正落实了让学生“初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”的新课程理念。

形成良好的解决问题的策略。在问题解决的过程中，其核心是解决问题的策略。当适当的策略与问题遭遇时，就会在个体的大脑皮质形成优势兴奋中心，且形成最优匹配，问题得以高质和迅速解决。要形成良好的数学学习策略，首先要完善学生的认知结构，因为“资源充足和组织良好的知识仓库是一个解题者的重要资本”（波利亚语）；其次要搭建一定的学习平台。相应的策略的学习，通常源自一种需要，即解决新问题时，一般的解题思路受阻而无法满足需求，需要一种策略的介入。如案例2中，让学生面临 “全场七折”、“买满100元送30元”、“全场5折起”等生活常识，可以使书本知识与现实场景相遭遇，从而使相应的解决问题的策略在学生头脑中不再有“纸上得来终觉浅”的学习遗憾，从而形成“绝知此事要躬行”的深度体验。

 

理念之三：数学课堂教学应能突出数学的智能价值

《标准》将数学的能力价值确定为“数学在提高人的推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力等方面有着独特的作用”。由“逻辑思维能力”拓展为“推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力”，说明数学的能力价值有了新的内涵与外延，这也是数学教育要全面培养学生的数感、符号感、空间观念、统计观念、应用意识和推理能力提供了一个教学依据。

教学案例：

课例3——三年级上册乘法单元“思考题”的教学

课始，老师出示思考题：

        春 夏 秋 冬

×               ９

冬 秋 夏 春

春=（） 夏=（） 秋=（） 冬=（ ） 

“今天我们来做个思维体操，锻炼锻炼我们的大脑！”孩子没有听过“思维体操”，听到这个新名词有很多新鲜感。

第一节：预备运动——综观题目，理解题意

这题的意思是，春、夏、秋、冬每一个字代表0～9中的一个数字（而不是数）；“春夏秋冬”是一个四位数，“冬秋夏春”也是一个四位数；这些字代表的数字填进去后，竖式成立。

第二节：上肢运动——解“春”

师：从整体上看题，四位数乘一位数，积还是四位数，说明什么？

生思考片刻后：春×9不进位，还是一位数！

师：那春会是几呢？

多数学生想到1。

师：好，那春就是1。忽然有位学生1说：“不，也可以是0！”一副很神气的表情。

师沉默。全班沉默约三秒。

生2：“不！0不能打头！”

生群：“对！对！0不能打头！”

生1低下头来，显得有些不好意思，完全没有了刚才得意的劲头。

师：你们刚才的对话很精彩！但我最想表扬生1，虽然大家推翻了他的答案，但他的思维却是在情理之中的，具有独创性的。在我们大家都只想到1时，他还想到了0，0×9确实也不进位。但正如大家所说，0不能在一个多位数的首位，所以春必然是——

生齐说：“1！”

第三节：下肢运动——解“冬”

春是1，代入后题变成：

 

１  夏  秋  冬

×              ９

冬  秋  夏  １

师：冬×9，积的个位是1，

生：冬是9，九九八十一！

师：是否只有9×9的积末尾是1呢？请大家下想一想。

生从0×9=0，一九得九开始背乘法口诀，最终得出只有9。所以，冬是9。

第四节：腹背运动——形成思维冲突，迂回反复，解“夏”

冬是9，代入后题变成：

１  夏  秋  ９

×              ９

９  秋  夏  １

学生自然地接下来想秋，也许是出于要把数字压小的原因，孩子首先想到0。

师：好，我们假设秋是0，那么积里的夏就是——

生：8！

师：乘数里的夏也就是8。

师生共沉默约5秒钟。

生：不行不行！八九七十二，进位了，那前面就不是9了！

至此，学生的思维受阻，产生了思维冲突。

师：太棒了！那么我们就要让思维来一次移位，先把“秋”放一边，来看“夏”。你们说了，夏×9能进位吗？

生：不能，进位前面就不会是9了。

生：对！那夏只能是0。1已经是春了。

全班学生忽然间觉得柳暗花明又一村。夏是0！

第五节：跳跃运动——实现思维共振，解“秋”

夏是0，代入后题变成：

１  ０  秋  ９

×              ９

９  秋  ０  １

师：最后再来看秋，秋×9+８末尾是０，说明——

生（急切地）：八九七十二！８！

多数学生都欣喜地喊出：８！八九七十二！

师：为什么呢？

生：２+８＝１０，只有８×9末尾才有２。所以秋是８！

为了帮助思维较慢的同学，师又提问：是否只有８×9末尾才有２呢？我们再来想一想。

师：乘数里的“秋”是８，那么积里的“秋”也应是８，是否正确呢？

生：八九七十二，加个位进来的８，等于８０，写０进８，０×9＝０，加十位进来的８正好是８！

所有的学生都有了高峰体验，激动地喊起来。

第六节：整理运动——验证思维，得出结论

师：我们的思维已经做了一次剧烈的运动，那么最后还要再来放松整理一下，把我们得到的数字全部代到竖式中去，看看是否成立呢？每人都算一次。

１  ０  ８  ９

×              ９

９  ８  ０  １

生计算完毕，都感叹数的神奇！

师总结：同学们刚才的整个思考问题、解决问题的过程就是完成了一个非常有深度的思维体操，你们的大脑也因此而得到了锻炼，相信你们一定又聪明了许多，恭喜大家！

 

课例透视——

数学能力最突出的表现集中在推理能力、抽象能力、想象能力和创造能力等四个方面。这些数学素养虽经理论界就其属性的倚重在形式上作了一定的分类，但其内涵并非毫无关联。在平常的教学实践中我们不可能孤立地刻意地去培养某种能力，更多的时候是在一定的情境中作整体思考，从而有效地彰显数学课堂的智能价值。

强化推理。《数学课程标准》指出：学生通过义务教育阶段的数学教学，“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”演绎推理能力的培养当然是需要的，但如果我们只是注意数学的严格思维训练，视界就显得很狭窄，甚至会产生负作用，即形成思维呆板的状况。如从实际问题抽象出概念和模型、构思证明方法等，则是一种归纳方法与严密思考相结合、直观与严格相结合的抓住事物本质进而构成系统的抽象过程，这就是一种合情推理的能力。案例3中，教者对课本的文本内容进行深度加工，挖掘其中蕴含的智力因素，按从易到难的顺序，引导学生观察、比较、归纳、类比……，通过合情推理提出猜想，然后通过演绎推理证明猜想的正确或错误，确定“春、夏、秋、冬”所代替的数值，从而使问题得以顺利的求解。

多方试探。西方教育中一个常挂在教师口边的用语就是“can  you try?(你能试一下吗？)”。的确，对问题从整体上观察和研究问题，对问题作全面的了解，是进行思维活动的基础。例如，在案例3中，面对一道思考题，教师没有贸然行动，而是让学生先进行“预备运动——综观题目，理解题意” 。

合理想象。爱因斯坦曾言：想象力比知识更重要。案例3的教学实践表明，想象这种思维活动不受任何有意识思维所具有的条条框框的束缚，可以诱发学生自由地做出各种可能的组合，因而想象能力是一种高质量、高水平的思维活动。平时教学中，有两条途径可以借鉴：其一，诚如著名作家秦牧先生所说：“无事好作非非想”，鼓励学生从多种可能、多种角度去思考同一个内容；第二，让学生尽可能地去面对开放性问题。例如：王叔叔开了一个玩具店，一天，他从无锡购进560个泥娃娃，哪知途中损坏了70个。如果他仍想获利5%，能按进价的110%卖出吗？这一类问题具有现实意义，解决的自由度较大，通过练习，可以使学生能突破惯性思维的束缚，提高数学思维的水平。

注重领悟。早在2500多年前，佛家倡导的“信、解、行、悟”的修行法则对我们今天的教学仍有一定的借鉴意义。相对于其他学习过程而言，只有悟出的知识对学生来说才具有生命力。“悟”是学生主动探求知识的一种最高级的心理活动，是外在知识内化的必经途径。学生只有用心去感悟，才能自己发现知识的内在规律，才能做到融会贯通，达到“真懂”或“彻悟”的境界，从而提高数学思维能力。

 

理念之四：数学课堂教学贵在彰显数学的文化价值

张奠宙先生在一篇文章中写道：“我希望我们大家来了解数学，有三个层面：一个层面就是公式定理，像勾股定理、求根公式等等； 第二个层面就是思想， 就是我们公理化思想， 数形结合、函数思想等等；还有一个层次就是文化价值。” 的确，数学是人类实践活动的产物，社会与文化不仅推动着数学的发展，同时数学也是推动社会与文化发展的关键性因素。突出数学教学的文化价值也是新一轮课程改革中的一大亮点。

课例4——“用字母表示数”

师：当我们遇到非常像的两个事物的时候，总是想办法把它们区别开来。现在就请小朋友在黑板上找出相近的汉字、字母或符号，把它们揪出来，提醒大家注意。

生1：b和6

生2：X和×

生3：4和千

……

师：小朋友观察得非常仔细。上面的两者之间的确很相近，如果我们一不小心把它们搞混淆了，有时产生的危害会非常大。现在我们重点研究X和×，请同学们想想有没有什么好办法，提醒提醒大家。（小组讨论）

生1：大家请注意：一般情况下，X在运算符号前或后，而×在数字或字母的中间。

生2：X上有小弯或小横，而×就是两条斜的线段。

生3：我们在写的时候，可以把X写得稍微大一些，×写得稍微小一些。

师：刚才大家想出了许多不错的主意。有一个人也发现和我们同样的问题，他整日想啊想，不停地进行试验，把×写得小一些，发觉不行，再写得小一些，再写得小一些，……（师边说边写）最后把“×”写成了“·”（生笑）。这个人认为自己的发明非常有价值。于是他向世界数学大会写了封信，要求在全世界范围内推广使用。小朋友想象一下，他的要求会得到批准吗？

生：不能！容易与小数点相混淆。

师：同学们的担心是有道理的。和世界数学家大会想得完全一样，真了不起！是的，我们对待任何事物都应该用科学的态度。但这个人并没有气馁，而是继续想办法，他心想：“·”容易和小数点混淆，那就干脆不要了。把4×X写成4X，x×A写成x A。于是他又写一封信陈述自己的想法，请求世界数学家大会批准自己的请求，小朋友看看，这一次他的想法能得到允许吗？

生：我认为不能。因为这次虽然不会和小数点混淆了，但由于两个数中间的符号没有了，人家会不知道是什么符号了，让人家看不懂，同样会引起混乱。

师：我们小朋友真会动脑筋，不人云亦云，遇到事情有自己的意见和主张，会用自己的头脑去分析问题，这非常难能可贵。的的确确如小朋友想得那样，这一次他的想法又未得到实现。现在请小朋友猜一猜，他会放弃吗？

生：不会！

师：这个人真的很执著，他没有放弃。心想：符号不写了会混淆，这的确不错，那我在前面加上一个前提条件：只有当数和字母或者字母与字母相乘的时候“×”才可以写成“·”或直接省略不写，这样就可能不会引起麻烦了。于是他又满怀信心给世界数学家大会写了第三封信，再次请求在世界范围内推广他的想法。现在请小朋友想想，他的愿望能实现吗？

生1：我想能的。因为这一次他加了一个条件（师补充“前提”）这样不会引起混淆。

生2：而且他的永不放弃精神也很可贵的。

生3：并且有一定的使用价值。

师：真是个可爱的孩子。的确，从那以后，在数学界就有了这样一条规则。现在就让我们来领略一下这条规则，好吗？（老师出题，让学生边写边读，当中包括能省略的和不能省略的，并让学生尝试出题包含上述两类情况。）四（2）班有图书200本，上午被同学借走了X本，还剩多少本怎样表示？

生：200－Ｘ

师：接着来！四（2）班有图书200本，上午被同学借走了X本，下午又被同学借走了Ｘ本，还剩余多少本怎样表示？

生1：200－X－X

生2：200－(X+X)

生3：200－2X

案例透视——

表面看来，任何教学所传播的总是文化，而且是在形态上可以呈现出多种多样的文化。传播文化并不意味着你的教学就是有“文化”内涵的，因为我们所追求的文化，诚如诸多文化学家所说，不是那种可见的、物态化的符号，图像或行为，而是一种语言，一种只对它孜孜叩问的人才会彰显的无声语言。

过去的数学课堂教学，忠诚于学科，却背弃了学生，体现着权利，却忘记了民主，追求着效率，却忘记了意义，关注着现在，却忘记了根本。而上文所展示的这几则片断，从文化视角的不同侧面折射出，新课标理念下的数学课堂教学我们应有的必然姿态。

一、对“善”的向往

数学，如果我们把它打扮起来，就象一位光彩照人的科学女王。但是如果我们在数学课堂上呈现的仅仅是逻辑、仅仅是枯燥的几条公式，那么这个美女就变成X光下面的骷髅， 就是X光的照片。 我们现在更多的看到的是X光照片，看不到数学科学女王的光彩照人的美容，只是看到她的骨骼。因而不容否认，数学有着强大的教化功能，有着较浓的“善”的品质，比如数学探索过程中的执著与坚韧，比如论证过程中的务实与谨严，比如数学创造过程中的开拓与超越，乃至耐心、责任感、敬业品质、民主精神等。“人之初，性本善”，数学课堂就要有意地引导学生对“善”产生一种心往之的需要。

案例4中， “×”在代数式中的使用，如采取常规的“告诉（教师告诉或文本告诉）—强记—训练”的方法，其终端结果也能达标，且快捷实用，但由于缺少了学习主体的情感参与，其获得的除认知结构随知识的叠加而扩充储备外，其它一切可持续发展的因素很少获得发展，恰恰这一点是大多数教师是难以顾及的！嵇老师却没有重复这条“捷径”，而是“曲径通幽”，模拟了一个数学痴迷者探索追求的感人故事，通过主人公三次向世界数学家大会写信，陈述自己“把×号逐渐缩小，以示与X相区别写成·——为免于与小数点相混淆，那就干脆不要了——符号不写会混淆，那就在前面加一个前提条件”的阶段“研究成果”。故事形象有趣，亦庄亦谐，驱人奋进。让学生不断经历着矛盾冲突时的“心潮激荡”和问题解决时的“峰回路转”；在他们的脑海中勾勒出一位执著的数学痴迷者，在厚厚的稿纸前，时而冥思苦想，时而奋笔疾书的久远的历史画卷，让其从中亲身经历数学思想的逻辑重演，体验这位探索者每一次创造的快慰，等待中的期盼，受拒后的苦闷，成功时的欣慰，从而催生出一种不畏失败、越挫越坚的高尚的人文情怀。

二、对“根”的叩问

意义感的恢复是儿童建构完整人格的前提。意义产生于人与世界相遇的时刻。当我们意识到自己与世界联为一个整体时，我们的生活才能完满意义。也就是说，世界是意义生成的背景，意义的产生需要使每一个人与这一背景重新建立联系。在课程领域，儿童意义感的恢复需要使之重新与某种超越的东西相联，使课程成为人的内在精神之旅，而不只是能够经验的事实。

习惯上，我们对司空见惯的数学内容总是作成人化的解读，作简单化的诠释，作线性化的推进，很少考虑这一教学内容从哪里来，亦即缺少对“根”叩问的一种姿态。比如，量角器上的刻度为什么要平均分成180份？为什么要有内圈刻度和外圈刻度？量角的时候为什么要做到“点点重合”、“边线重合”……，这些关涉到数学知识的本源问题和元认知等关注“根”的策略，我们无遐顾及或很少顾及。

然而，强震球老师《角的度量》一课却从另一个视界给我们带了全新的启示。我们不妨重历课堂，去找寻这些细节，并探寻细节背后的意蕴所在。
    黑板上大小明显的∠1和∠2，除了可以通过观察即可比较其大小之外，还可以怎么比呢？在用活动角比出大小之后，让学生面临：“还有其它方法吗？老师这儿还有些小角，（在黑板上贴出若干个10度的木制小角学具），你能用这些小角比较出这两个角的大小吗？”的问题情境，学生的认知平衡第一次被打破，并带着明确的指向投入到自主活动之中。此问题的解决，使其认知界面上建立起来的绝非仅仅是比出了两个角大小的结论，更是 “化整为零”这一基本的思想的初步形成。

“不过这样比还是比较麻烦。能不能想个办法，既保留它的准确性，又改变它操作麻烦的缺点呢？”驱动学生的思维进一步深入，重新审视并调整自己亦已建立起来的方法体系，想出“把小角拼起来”、“用胶带把小角粘起来”等方法，这时量角器的雏形已经形成。
    练习题中三个角、尤其是∠3的度量，再次把学生带入一种矛盾境地，认知平衡再次被打破，迫使学生对已经“发明”的工具加以改进。这时，“可以把每个小角再分成若干个小小角”的想法再次显示了“化整为零”这一数学思想的威力。随之，“ 1°角”、“把半圆平均分成180份”等量角器的核心要素相继浮出水面。

随后，开口方向一右一左的55°角和30°的度量中，教师精心设计的“怎么才能一眼就看出它的大小呢？”、 “要是能从图中一下子读出来，那该多好啊！可以怎么办呢？”等“挑逗”性问题，使“内圈刻度”和“外圈刻度”水到渠成、瓜熟蒂落。

整个活动过程，让学生完全置身于不断的矛盾冲突、问题的解决之中。每一个问题的解决过程，就是“量角器”这一量角工具不断改良、不断精致的过程，每一个矛盾的被激化、被化解的过程，就是新知不断深化、学生思维不断向更高层面衍化的过程，就是数学教学中不断寻“根”的过程。

三、对“史”的关注

一定的文化从孕育到成熟，有一个温长的创造、积累、模式化的过程，这就是文化的积淀。文化的积淀是一个通过从其他人或文本那里接受传统的哺育和滋养，在与传统的对话和晤谈中渐渐形成超越生物机体禀性的完整人格的过程。

人类发展已有着几千年的历史，沧海桑田的演变，给后代积淀下厚实的数学文化，翻开历史的长卷，中外古今的文化史实有如一颗颗亮灿灿的明珠镶嵌的历史的长廊上，令人目不遐接。这些宝贵的财富，理应成为我们的教学资源，雕刻在学生记忆的深处，成为他们数学素养中不可或缺的一部分。再如，教师在教学《圆的周长》时，运用现代化教育手段呈现刘徽割圆术、祖冲之的伟大成就，引领学生了解圆周率的探索历程，丰富了数学活动的内容，拓展了学生探索的空间。学生通过观察、联想，发现圆内接正多边形的边数越多，正多边形的周长越接近圆的周长，正多边形的周长与直径的比值越接近圆的周长与直径的比值，感受极限思想。学生直观感受到圆内接正12288边形、正24576边形的边长非常小，以及祖冲之研究成果的精确，从而受到了震撼。了解圆周率的探索历程的活动，是一个领悟数学思想方法的过程，是一个体验科学精神的过程，是一个感受、欣赏数学文化的过程。

 

                             该文2011年江苏省“师陶杯”一等奖