非欧几里得几何学（non-Euclidean geometry）

不同于欧几里得几何学的几何体系。简称为非欧几何。一般是指罗巴切夫斯基几何（双曲几何）和黎曼的椭圆几何。它们与欧氏几何最主要的区别在于公理体系中采用了不同的平行公理。非欧几何起源于对欧几里得平行公设的讨论。公元前3世纪初，欧几里得《几何原本》问世，开篇列出定义、公理和公设，其中第五公设是：同一平面内一条直线与另外两条直线相交，若在某一侧的两个内角之和小于二直角，则这二直线经过无限延长后在这一侧相交。它不像其他公设那样显然，因此很快就引起人们的争议，认为欧几里得把它放在公理（公设）之列，不是因为它不能证明，而是找不到证明，这是欧几里得几何体系的唯一“污点”。2000多年来，许多几何学家用不同的方法试图证明第五公设，可是都失败了，因为在他们的每一个所谓“证明”中都引进一个新的假定，而这个假定等价于第五公设。

公元2世纪，古希腊数学家托勒密试图从欧几里得其他9个公理、公设以及与平行公设无关的欧几里得命题1～28来证明平行公设，但假设了两直线平行后，另一与之相交直线一侧内角成立的东西也必在另一侧同样成立。公元5世纪的普罗克洛斯基于亚里士多德用于证明宇宙有限的公理来证明平行公设，实际上是把一个有问题的公理用另一个来代替09世纪阿拉伯数学家塔比·伊本·库拉在《欧几里得著名的公设证明》中假设：如果两条直线与第三条直线相交，并且它们在（第三条直线的）某一侧靠近或相离，则它的（在第三条直线的）另一侧就相离或靠近。13世纪的纳西尔丁在《平行线问题释疑》中也应用了这样的假设：同一平面上的若干直线，若在一个方向上是分离的，则它们在这个方向上就不会靠近。他在此基础上证明了垂线与斜线一定相交，自角内任一点必可作一直线与角的两边都相交等命题，这些都与第五公设等价。纳西尔丁的工作于1663年由英国数学家沃利斯重新阐发，引起欧洲人的重视。1769年丁·芬恩提出一个简单的代替公理：两条相交直线不能同时平行于第三条直线，它对等于英国数学家普莱费尔1795年在《几何J理》中提出的公理：过直线外一点，只能作一条直线与已知直线平行，现在称之为普莱费尔公理。1794年法国数学家勒让德也出版过一部名为《几何原理》的教科书，其中详细讨论了平行公设问题。他先后又发表过许多有关论著，应用的假设有：任意给定三个不共线的点，存在一个圆通过这三个点；若任何一个三角形内角之和等于两直角，则第五公设成立等。

另一方面，数学家尝试从其他9条公设推导出欧几里得的论断。托勒密曾试过直接证明法，更多的人采用间接证明法，就是反证法，即从第五公设不成立的情况下着手，追究它能否得出与已知定理矛盾的结果，如果得不出，又会产生什么事实。这样的思想方法开辟了一条通往非欧几何的道路。1733年意大利数学家萨凯里在《免除所有污点的欧几里得几何》中率先做出尝试。他从一个四边形ABCD开始，其中两个相邻角A、B是直角，且AC＝BD。欧几里得平行公理相当于另外两个角C和D是直角，他考虑两种可能的选择，一是C和D都是钝角，导出矛盾；二是C和D都是锐角，可以在逻辑上无矛盾地导出许多有趣的定理，但不合于习惯，于是判定也不真。最早认识萨凯里工作意义的是德国数学家克吕格尔，他于1763年在博士论文中指出：公理的实质在于符合经验而并非其不证自明，人们之所以接受欧几里得平行公理的正确性是基于经验，他认识到萨凯里没有得出矛盾，只是得到似乎异于经验的结果。1766年德国数学家兰伯特完成《平行线理论》（1786年出版），其中继续萨凯里的探索，考虑到一个三个角都是直角的四边形，研究第四个角是直角、钝角和锐角的可能性。他认识到任何一组假设如果不导致矛盾的话，一定提供一种可能的几何，断言平行公理不成立的那种几何应该可以发生在半径是虚数的球面上。在他之后，施外卡特于1807年出版《平行线定理》，陶林努斯发表《平行线理论》（1825）和《几何原理》（1826），他们都指出欧几里得平行公理不能证明，同其他公理是互相独立的，并相信有可能选取与欧氏平行公理相矛盾的其他公理建立逻辑上相容的几何，还推导出被称为“星空几何”的一些公式。不过他们认为这些非欧几何不能应用于物质空间，只有欧氏几何才是唯一能描述物质空间性质的几何学。

最先认识到非欧几何可以描述物质空间的数学家是高斯，从这一点讲，他被认为是非欧几何学的创始人之一。高斯从15岁时（1792）就认识到能够存在一种逻辑几何的思想，在其中欧几里得平行公理不成立。1799年底他已开始相信平行公理不能从其余的公理中推导出来。他从1813年起发展他的新几何，最初称之为反欧几里得几何，后来称之为星空几何，最后称之为非欧几里得几何。他深信它在逻辑上是相容的，且有些确信它是能够应用的。高斯生前关于非欧几何的信件和笔记一直没有发表，只是在1855年他去世后出版时才引起人们的注意。非欧几何的另外两个创始人是俄国数学家罗巴切夫斯基和匈牙利数学家波尔约。罗巴切夫斯基从1816年开始尝试第五公设的证明，他把全部几何命题按是否依赖第五公设分为两部分，不依靠平行公设得到的几何命题现被通称为“绝对几何”，其中有这样的命题：在一个平面内，过直线AB外一点，至少可以作一条直线与AB不相交。如果只能作一条直线与AB不相交，就导致欧几里得几何学，即平行公设成立的几何学。罗巴切夫斯基着重从第二种情况出发，即可以作不止一条直线与AB不相交，如果推出与绝对几何矛盾的命题，则相当于证明了第五公设。可他不但没有发现任何矛盾，而且在严密推导下得到一系列命题，由此构成逻辑上无矛盾且与绝对几何不冲突，但又与欧氏几何不相同的新几何体系，他称之为“虚几何学”01826年他在喀山大学第一次公开发表这一新学说，1829－1831）年又陆续发表《论几何学基础》等有关文章，成为世界上最早发表的非欧几何文献。以后几十年虽然他的学说反响甚微，甚至受到嘲讽，但他一直执著地进行研究和著述，1837年用法文写成《虚几何哟。1840年用德文写成《平行线理论的几何研究》，去世前又口述完成《泛几何学》（1855），其精神与业绩得到后人的赞赏与肯定。波尔约在182》年前后开始研究平行线理论，发现第五公设不可能证明。1823年得到非欧几何的基本原理，后写成论文，于1832年附在他父亲的一本初等数学书中发表出去。其中十分简洁概括地论述了一个完整且无矛盾的非欧几何体系，称之为“绝对几何学”。有关非欧几何发明权的确立争议颇多，一般认为高斯、罗巴切夫斯基和波尔约在前人大量工作的基础上都做出一定贡献。罗巴切夫斯基和波尔约的论著发表时间有前后，但都是各自独立完成的。在这种几何里，三角形的内角和小于两直角，一般称之为罗巴切夫斯基几何学，简称罗氏几何。1871年德国数学家C．F．克莱因改称为“双曲几何学”，沿用至今。

1854年德国数学家黎曼宣读《关于几何基础的假设》（1867年发表）的演说，其中又提出另一种既不是欧氏几何又不是罗氏几何的非欧几何，这种几何采用公理“同一平面上的任何两条直线一定相交”代替欧几里得平行公理，并对欧氏几何中其余的公理稍作改动，被称为“椭圆几何”。其中三角形的内角和大于二直角。它和球面几何学相差无几，如果把球面的对顶点看成同一点，就得到这种几何学。186年意大利数学家贝尔特拉米发表《非欧几何解释的尝试》，证明了非欧平面几何（局部）实现在普通欧氏空间里，作为伪球面，即负常数高斯曲率的曲面上的内在几何，指出如果非欧几何中如果有矛盾，也将在曲面的欧氏几何中出现。他后来又把非欧几何的表示推广到n（＞2）维流形，并研究了某些特殊的伪球面。通过他与黎曼等人的工作，明确了在常曲率曲面上可以得到三种几何—负常曲率曲面上的非欧几何、正常曲率曲面上的球面几何以及零曲率曲面上的欧氏几何，这三种几何彼此不相矛盾，各构成一个完整的体系。1871年德国数学家C．F．克莱因首次认识到从射影几何中可推导出度量几何，并在欧氏几何中建立了非欧平面几何（整体）的模型。这样非欧几何的相容性问题就归结为欧氏几何的相容性问题，这些结果最终使非欧几何获得了普遍的承认。C．F．克莱因还注意到有两种椭圆几何：双重椭圆几何与单重椭圆几何。在双重椭圆几何中两个点并不总是确定唯一的直线，例如球面模型中直径的两个端点，而在单重椭圆几何中两个点总确定唯一一条直线。他又从变换群的观点对各种几何学进行了分类，从根本上革新和拓广了人们对几何学观念的认识，并导致人们对几何学基础的深入研究。

1899年希尔伯特在《几何基础》中建立了欧氏几何的公理体系，开创数学公理化的先河。他在书中指出，用罗巴切夫斯基和波尔约的公理代替欧几里得平行公理，而其余的公理保持不变，马上就得到双曲型非欧几何的公理体系。然而椭圆型几何公理体系的建立比较复杂。1904年美国数学家霍尔斯特德在《有理几何》中建立了双重椭圆几何的公理体系。1905年G．赫森伯格作出了单重椭圆型几何的公理体系。至此，非欧几何有了严密的基础。非欧几何学首先提出了弯曲的空间，为更广泛的黎曼几何学的产生创造了前提。黎曼几何后来成为爱因斯坦建立广义相对论的数学工具，按照相对论的观点，宇宙结构的几何学不是欧氏几何而接近于非欧几何，因此许多人采用了非欧几何学作为宇宙的几何模型。非欧几何还在数学的一些分支中有重要作用，它们互相渗透，促进着各自的发展。例如法国数学家庞加莱利用复平面上作出的罗巴切夫斯基几何模型证明了自守函数的基本区域是一些互相合同的多边形。这个结果对于建立自守函数理论有着重要作用。