数学概念的形成过程

       根据皮亚杰的儿童认知发展阶段，柯普兰在《儿童如何学数学》一书中，将一个具体的数学概念的发展过程分为三个阶段，即：阶段1表示毫无理解，对应于皮亚杰所说的前运算阶段的智慧特点；阶段2表示部分理解，对应于前运算与具体运算之间的过渡阶段的智慧特点；阶段3表示完全理解，对应于具体运算阶段的智慧特点。当然，他也指出：“有些概念还有阶段4，这是指在纯粹抽象或形式运算水平上的完全理解”。这种划分有一定的道理，因为，背后的依据显然是皮亚杰的理论，但它有效避免了在具体教育实践中所面临的一个较为棘手的问题，即：对于中小学数学老师而言，刻画一个具体数学概念的形成过程，照搬皮亚杰的“名词”，是非常生硬且难以理解的；转换后的概念，大家耳熟能详，不失亲切。但是，这种转换的失足之处也是显而易见的。其一：由于照顾到“日常说法”——毫无、部分、完全，使得这种划分反而丧失了皮亚杰根据儿童内在认识图式循环建构生成所使用语言的精妙性和深刻性；其二，儿童的认知发展是一个同化、顺应、动态平衡的循环建构过程，某一阶段的认知发展图式，即是前一阶段的抽象形式，又是后一阶段的具体内容，所以，成长中的儿童的认知图式总是可以在“感知运动阶段”找到其源头，而柯普兰恰好把这个“源头”给忽略了；其三，数学概念不同于物理概念，后者直接源于客观存在的物体（限于经典物理学），而前者却是对施加于客观物体的“动作”本身的抽象与创造。客观世界有“1”、“2”、“3”么？没有，即便是看似如此简单的阿拉伯数字，也是人类伟大的创造。而人们通常认为欧式几何是对客观世界的“图形性质”的“归纳”，这显然也是错误的，客观世界中有小而无内的“点”么？有没有粗细、可以向两端无限延伸的“直线”么？有没有厚度、可以向四周无限延伸的“平面”么？仍然没有，这些最基本的几何图形都是人类最纯粹的发明与创造！也就是说，一个科学的数学概念也许起源于儿童的感知或具体操作，但是，它的“成熟水平”一定是以高度形式化和抽象化为表征的。而柯普兰居然说：“有些概念具有阶段4”，他可能忽视了数学最根本的特点——高度的形式化与逻辑化。

       在《思维与语言》一书中，维果斯基将一个概念的不同成熟阶段界定为：混合概念、复合概念、科学概念。这显然是一个发生学上的划分，对于以语言为表征的概念思维发展而言，具有很好的启发意义。但是，这种划分也许对于“人文科学”的概念发展而言更为恰当，而对于数学概念来说，有明显的不足，因为：儿童学习和发展一个数学概念时，并不存在一个所谓的“日出概念”和“科学概念”的区分，更不存在这两个概念并行发展的不同轨道。在一个科学的数学概念建构生成过程中，不同儿童达到相应发展阶段的年龄不是僵化固定的，但是，从感知具体到抽象形式、从低级到高级，各个发展阶段总是构成一个互为内容与形式的动态建构的统一体。

综上所述，我建议把一个数学概念的形成过程界定为：感知运动型概念、操作协调型概念、形式逻辑型概念。感知运动型概念对应于儿童认知发展的感知运动阶段和前运算阶段，儿童在这个时期建构的数学概念，一方面受制于视觉或其它感觉，另一方面也会受到具体操作活动作需要步骤数量和复杂程度的影响。操作协调型概念对应于具体运算阶段，儿童已经形成了量的守恒性和运算的可逆性，但是必须建立在具体操作活动的基础上，所以，认知结构表现得并不稳定，遇到较为复杂的问题时，可能仍然需要试误性协调操作活动。这一阶段年龄跨度大，且不同概念抵达此阶段的年龄差异很大。比如说，加、减法运算，儿童在7岁左右即可形成操作协调型概念并直接进入下一阶段；而对于乘、除法和比例，儿童抵达相应的阶段却要推迟到11岁，甚至更晚。形式逻辑型概念，是一个科学的数学概念形成的标志，儿童完全可以脱离具体情境与操作，直接在自己内在的认知结构中进行抽象的、形式化的科学稳定地运演。

在日常数学教学中，有些老师“善于”联系实际生活。比如：初中学习直线时，会引导学会观察铅笔、书脊、桌子的边缘、墙角线、电线杆子、笔直的马路等等，然后抽象归纳出直线的概念；再如：高中学习“面面平行的判定定理”时，会引导学生观察教室内相对的墙面、不同楼层的天花板等等，然后抽象出判定定理。这样的课堂往往很活跃，并且很容易赢得赞誉，比如：很好的联系了生活实际，体现了数学知识源于生活、寓于生活、用于生活的特点，等等。然而，这些做法与赞誉都是错误的，是根本不符合儿童认知建构数学概念的基本规律的，是对“数学学习要联系生活世界”的肆意歪曲和习焉不察的黑白颠倒。首先，升入初中以后（更惶论高中），学生的认知图式已经进入形式运演阶段，他们在此阶段建构生成的数学概念是形式逻辑型，是基于内在已有认知图式的“反省抽象”，而不是基于对外部客体的“简单抽象”（前面的两个例子恰恰都是如此）。教学的目标和重点，应该是引导学生的认知图式向更高的阶段（其实也就是更形式化的阶段）发展，而不是一旦遇到问题，总是首先把学生“拉回”到“感知运动水平”，仿佛中学生只是刚刚出生的“婴儿”一样；其二，在前面的例子中，概念定理的获得过程看似流畅自然，实则漏洞百出，于学生的数学思维发展有百害而无一利。请问：铅笔、桌子的边缘是直线吗？墙面、天花板是平面吗？答案都是否定的，前者只不过是“线段”，而后者也许只能算作一个“长方体”，向两端或四周无限延伸的直线或平面根本就不存在于我们人类可见的视野之中，我们只能在外面的思维意识中尽情地想象它们、创造出它们，而这才是真正的数学学习所迫切需要的！

也许有人会提出异议：难道数学就不需要联系生活实际吗？就可以不食人间烟火吗？当然不是！只是不能像上面所提及的课例那般“庸俗化”的联系，而是体现在：学生运用自己头脑中高度形式化、逻辑化的科学数学武器去数学化的处理和解决他们在日常生活，特别是相应的科学研究领域所遇到的真正的实际问题，这种“联系”本身就是创造！