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莫一剑
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关于直线对称的两点的坐标计算公式

(2016-11-16 10:51:28)
分类: 图形图像及3D

已知点M(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),求点M关于直线l对称的对称点M′的坐标,这是高中数学教学中常见的问题。

其求法是简单的,设M′(x,y),利用直线l是线段MM′的中垂线,列出方程组,解方程组便可求得M′点的坐标。

由于在教学中遇到此类问题很多,屡屡列方程组并解之不胜其烦,所以不如做一回傻事,就一般情况推导出其坐标公式,“毕其功于一役”,省得以后劳苦再三。但需说明的是,此公式虽如此优美,但仅适合于教师使用。而不提倡学生使用此公式(额外增加了记忆负担)。

定理:已知点M(x0,y0)和直线 l:Ax+By+C=0(A≠0,B≠0),点M关于直线l对称的对称点M′的坐标(x,y),则
    x=x0-2Af(x0,y0)/(A2+B2),
    y=y0-2Bf(x0,y0)/(A2+B2).
其中f(x,y)=Ax+By+C
   证明:设点M关于直线l对称的对称点M′的坐标是(x,y),
   ∵ l⊥MM′,
   ∴ [(y-y0)/(x-x0)](-A/B)=-1,
   ∴ y=y0+B(x-x0)/A ,                      
   ∵ 线段MM′的中点在直线l上,

   ∴ A(x+x0)/2+B(y+y0)/2+C=0,  

   ∴Ax+By+C+Ax0+By0+C=0, 
    即 Ax+By+C+f(x0,y0)=0,                  
   将①代入②,得
     Ax+B[y0+B(x-x0)/A]+C+f(x0,y0)=0,
    ∴ A2x+B[Ay0+B(x-x0)]+AC+Af(x0,y0)=0,
    ∴ A2x+ABy0+B2x-B2x0+AC+Af(x0,y0)=0,
    ∴ (A2+B2)x-A2x0-B2x0+A2x0+ABy0+AC+Af(x0,y0)=0,
    即 (A2+B2)x-(A2+B2)x0+2Af(x0,y0)=0,
    ∴ x=x0-2Af(x0,y0)/(A2+B2),
   把上式代入①,得
    y=y0+B[-2Af(x0,y0)/A(A2+B2)]
     =y0-2Bf(x0,y0)/(A2+B2).(证毕)

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