已知点M(x₀,y₀)和直线 l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,求点M关于直线l对称的对称点M′的坐标，这是高中数学教学中常见的问题。

其求法是简单的，设M′(x，y)，利用直线l是线段MM′的中垂线,列出方程组，解方程组便可求得M′点的坐标。

由于在教学中遇到此类问题很多，屡屡列方程组并解之不胜其烦，所以不如做一回傻事，就一般情况推导出其坐标公式，“毕其功于一役”，省得以后劳苦再三。但需说明的是，此公式虽如此优美，但仅适合于教师使用。而不提倡学生使用此公式（额外增加了记忆负担）。

定理：已知点M(x₀,y₀)和直线 l：Ax+By+C=0（A≠0，B≠0）,点M关于直线l对称的对称点M′的坐标(x，y)，则
    x=x₀-2Af(x₀,y₀)/(A²+B²),
    y=y₀-2Bf(x₀,y₀)/(A²+B²).
其中f(x,y)=Ax+By+C
   证明：设点M关于直线l对称的对称点M′的坐标是(x，y)，
   ∵ l⊥MM′,
   ∴ [(y-y₀)/(x-x₀)](-A/B)=-1,
   ∴ y=y₀+B(x-x₀)/A ,                      ①
   ∵ 线段MM′的中点在直线l上，

   ∴ A(x+x₀₎/2+B(y+y₀)/2+C=0,  

   ∴Ax+By+C+Ax₀+By₀+C=0, 
    即 Ax+By+C+f(x₀,y₀)=0,                  ②
   将①代入②，得
     Ax+B[y₀+B(x-x₀)/A]+C+f(x₀,y₀)=0,
    ∴ A²x+B[Ay₀+B(x-x₀)]+AC+Af(x₀,y₀)=0,
    ∴ A²x+ABy₀+B²x-B²x₀+AC+Af(x₀,y₀)=0,
    ∴ (A²+B²)x-A²x₀-B²x₀+A²x₀+ABy₀+AC+Af(x₀,y₀)=0,
    即 (A²+B²)x-（A²+B²）x₀+2Af(x₀,y₀)=0,
    ∴ x=x₀-2Af(x₀,y₀)/(A²+B²),
   把上式代入①，得
    y=y₀+B[-2Af(x₀,y₀)/A(A²+B²)]
     =y₀-2Bf(x₀,y₀)/(A²+B²).(证毕)