拓展数学教学空间    开发学生创新潜能

                         

设计意图：

《国家数学课程标准》将小学数学分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”、“实践与综合应用”四个学习领域。本课属于“实践与综合应用”的内容，是探索性的学习活动，活动的背后有一定的思考含量，主要让学生在探究中求发展，并在发展中进行创新。旨在拓展数学教学空间,开发学生创新潜能,寻找适合孩子发展的教育。本课力求体现：

1、 重视教材的拓展性知识教学, 引导学生深入学习研究数学，构筑互动的平台，培养学生数学兴趣和良好数学素养。

2、引导学生在“设疑－猜想－验证－发现”中展开学习，在一次次猜想验证中，发现规律，掌握知识，培养能力。

3、提倡方法多样化,不追求同样思维层次、习惯和模式,提倡方法多样化,优选最佳方法，注重个性差异，让孩子获得不同程度的成功体验。

4、重视概括与提炼，及时反馈学生的猜想、验证、发现等活动。把计算器引进课堂，让最佳的时间花在探索寻找规律处，提高课堂的教学效率。

5、力求体现新课堂理念，创设适合学生发展的教育，激发学生的求知欲望，点然创造的火花，把有限的课堂变成一个人人参与，个个思考的广阔的空间。

教学目标：

1、初步感受相关的形体的变化规律，了解相关的数量关系，发展学生的空间观念。

2、让学生经历猜想、验证等过程体验数学研究的方法，初步感受数学在研究中发展,激发学生的学习兴趣。

3、教育学生树立实践出真知的观点，发展学生创新思维、合作探究、动手实践、验证发现的能力。

教学实录：

一、创设情境、提出问题。

1、谈话引入:温州有“数学家摇篮”之称，温州曾经出现了许多著名的数学家。如复旦大学教授苏步青，苏教授小时候就对数学产生浓厚的兴趣。这节课我们讨论苏爷爷小时候做过的一道有趣的数学题。

2、揭示问题：怎样把一块正方形铁皮做成一个无盖的长方体铁盒？

二、提出方案、比较简析。

图1

1、学生提出方案。

图2

生1：先把这块正方形铁皮的四个角各剪去一个小正方形铁皮，然后做成一个无盖的长方体铁盒(如图1)。

生2：把正方形铁皮一边的两个角各剪去一个小正方形铁皮，焊接到对边去，做成一个无盖的长方体铁盒(如图2)。

2、哪种方法做成的长方体铁盒的体积大，为什么？

生：第二种方法做成的长方体铁盒的体积大,因为材料的使用率达100%。

三、合作探究、发现规律

（一）研究做法一

1、探讨能做多少种不同的长方体铁盒？

师:如果正方形铁皮的边长是18厘米，能做几种不同的长方体铁盒？

生1：无数种，因为剪去的小正方形的边长可以是小数也可以是整数。

师：如果剪去的小正方形边长是整厘米数呢？

生2：只有8种，也就是小正方形的边长是1、2、3、4、5、6、7、8厘米。

师:边长可能是9吗?

生：不可能，正方形的边长只有18，正好剪完了，就做不成长方体了。

边长cm	1	2	3	4	5	6	7	8
容积

2、猜想：哪个无盖长方体铁盒的体积最大呢？

生1：剪去的小正方形边长是1厘米，做成的长方体体积最大。

师：你凭什么这样认为？

生：用的材料就越多，做成的长方体体积就会大。

生2：我认为剪去的小正方形边长是5厘米，做成的长方体体积最大；因为这时长方体的长、宽、高比较接近。

生3：也可能是4厘米。

生4：剪去的小正方形边长是6厘米，做成一个立方体，体积会最大。

这时学生各抒己见，观点各不相同。

师：到底哪个长方体的体积最大呢？

全班学生说：让我们先算一算。

3、验证

（1）分组计算，填写表格

边长cm	1	2	3	4	5	6	7	8
容积	256	392	432	400	320	216	112	32

(2)师：从上表中你发现了哪个长方体的体积最大？

生：当剪去的小正方形的边长是3厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。

结合刚才猜想，教师问：这时你有什么感想？

生1：我们解题，不能只靠猜想，还要认真计算。

生2：说明了猜想不一定正确。

师：说明了我们研究数学，不但要大胆猜想，而且还要严格验证。

师：从上表中你还发现了什么规律？

边长

图3

http:///C:/DOCUME~1/dxj0/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image005.gif生1：剪去的小正方形的边长越来越长。

生2：体积从小到大，再由大到小。

师：你能用手势表示这种变化的趋势吗？

请学生上台演示后，再出示图像(如图3)：

生:老师您画错了，左边的曲线应比右边低。

大家一看果然如此，我立即称赞了这位孩子的大胆和聪明，这时热烈的掌声响起。

师：长方体的形状是怎样变化的呢？

生：底面越来越小，高越来越大。(课件演示)

 

 

 

（3）在小正方形的边长2.9cm与3.1cm之间细化：

师：刚才研究剪去的小正方形边长是整厘米数，只能做8种不同的长方体，如果剪去的小正方形边长小数的呢？能做无数种不同的长方体。这些长方体中体积还是432立方厘米最大吗？

生：不是。

师：肯定不是吗？

生：不一定，有可能还是最大，也有可能不是。(大部分学生这样认为)

生：老师，让我们再继续研究。

师：怎么研究？

生：剪去的小正方形边长取小数进行研究，如2.9或3.1

生：还可以取2.8或3.2…..

边长cm		3
容积		432

生：我们发现体积还是432立方厘米最大的。

3、举例研究。     

设问:如果正方形铁皮的边长是24、30、12、36厘米,用同样的方法也做一个无盖的长方体铁盒，剪去的小正方形边长可能是几呢？

(1)学生猜想。(学生猜想教师板书)

师：当正方形铁皮的边长是24厘米时呢？

生1：剪去的小正方形边长可能4厘米。

生2：剪去的小正方形边长可能8厘米。

生3：我认为剪去的小正方形边长还是3厘米。

师：当正方形铁皮的边长是30厘米时呢？

生1：剪去的小正方形边长可能5厘米。

生2：剪去的小正方形边长可能4厘米。

生3：我认为剪去的小正方形边长还是3厘米。

…..

(2)分组研究。

                            研  究  表

正方形的边长是(   )厘米
边长(cm)
体积

　                                              第(     )小组

(3)汇报交流：(学生汇报后教师将错误想法擦掉)

生1：正方形铁皮的边长是24厘米，剪去的小正方形边长是4厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。

生2：小组研究的结果也是这样。

生3：正方形铁皮的边长是30厘米，剪去的小正方形边长是5厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。

我们组还发现了大正方形的边长是剪去的小正方形边长的6倍。

生4：正方形铁皮的边长是12厘米，剪去的小正方形边长是2厘米时，做成的无盖的长方体的体积最大。 我们组也发现了大正方形的边长是剪去的小正方形边长的6倍。

…..

(4)发现规律：剪去的小正方形的边长是原来大正方形边长的 。

(二)研究做法二

1、探讨能做多少种不同的长方体铁盒？

2、计算体积。13.5×9×4.5=546.75

(三)再次比较两种做法的体积的大小。

图4

四、回顾总结、拓展延伸。

1、课外探索(如图4)：它的体积会更大吗？

课件展示，学生发出了赞叹声。这时问：它的体积会更大吗？

生1：它的体积会最大，因为材料使用率达100%，而且又是立方体。

生2：不对。刚才立方体的体积也没有最大。

全班学生又陷入沉思……

师:这个问题请同学们课外研究，看哪些同学先出研究成果。

2、回想一下，你们是怎样获得这些成果的？

生：我们是通过猜想-验证-发现的方法，获得研究成果的

……

师:这是研究数学的非常好的方法。同学们像苏爷爷小时候那样，认真地钻研数学，相信你们能成为未来的数学家。

课后体会:本课教学紧扣长方体或立方体的体积计算，围绕“怎样做最大”这个中心层层展开，步步深入。始终让学生置身于充分民主、和谐的教学气氛中，让学生在“山穷水尽疑无路，柳暗花明又一村”中感悟数学无穷的魅力，激发探究、创新的热情。下列几点感触颇深：

1、面向全体、因材施教，创设适合学生发展的教育。

《国家数学课程标准》指出：由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身的思维方式不同，学生的数学学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

因此，我们不能把孩子都想成一张无知的“白纸”，每个孩子都存在差异。这节课既有面向全体的“基本知识和基本技能的练习巩固”，也渗透了尊重个体的理念，不追求同样的思维层次、习惯和模;让学生参与开放式的猜想、思考、求证,提倡方法或答案的多样化,让孩子获得不同程度的成功体验等。做到双基教学与创新教育的有机结合。这些都体现了新课标中要求的，面向全体，因材施教的思想。

2、重视课本内容的拓展性知识教学，拓展数学教学的空间。本课内容是对课本求算体积知识的延伸，引导孩子分小组合作去设疑、猜想，然后验证到发现，并找出规律。这是涉及到初中的变量知识、高中的函数知识，但孩子各有差异的设想，求证的过程的展现，让一个很复杂的数学问题变得简单。虽仅仅要求用最初等的数学知识，但同时又富有激励地闪现出更高层次的数学思想方法。学生说“数学课不再是书本的知识，引进了许多新鲜的内容”。“老师引导我们自己去实践、去发现、去总结，这样我们很有成就感。这也为教师的教学和学科的研究提供了广阔的天地，更多地体现了校本课程。

3、为学生创设富有挑战性的，开放的问题情境。

《国家数学课程标准》指出：学生的数学学习应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容将有利于学生主动地进行数学活动。前苏联教育家苏霍姆林斯基说：儿童在遇到问题时，总爱把自己当成探索者、研究者、发现者。而富有挑战性的开放的问题情境，能使他们的这些角色得到充分的发挥，促进他们创造性的解决问题。本课我引导学生在“设疑－猜想－验证－发现”中展开学习。让学生在一次次猜想验证中，发现规律，掌握知识，培养能力。

4、创设融洽活跃的课堂，激发学习的兴趣。 在本课中我以参与探索者的身份出现，与孩子们一起研究，师生之间建立起平等、和谐、民主伙伴关系。学生发言踊跃，课堂氛围热烈。我经常用鼓励的语气：还有其它方法吗？老师最喜欢有不同想法的孩子。当公布正确解答之后，我又问：有没有同学算错呀？能大胆告诉大家吗？一位男同学站起来说自己最后一题算错了，可不知道错在哪里？于是我让全班同学帮他一起算，发现了错误所在，一起纠正总结。当学生发现长方体体积最大规律时，我又兴奋地说：多精彩地发现呀!请大家给自己来点掌声。特别是出现曲线图时,一位学生突然举手:老师您画错了，左边的曲线应比右边低。大家一看果然如此，我立即称赞了这位孩子的大胆和聪明。这时热烈的掌声响起。难怪孩子们说：即使我们发言错了，老师也不会批评我们。“课上，老师没限制，很自由开放，时间太短了。”……

当然这样的教学，对教师的素质提出了更高的要求和挑战。要求教师平时要多钻研、多思考、多实践、做教学的有心人。

(温州市实验小学  陈加仓)