几何平均数与算术平均数没有本质上的不同，他们的意义是一样的，是同一种东西。计算方法的不同是数据类型的差异导致的，给人一种它们截然不同的错觉。

不管是几何平均数还是算术平均数，其意义都是：对于数列

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用某一个常数A将数列中的每一项替换，形成的新数列结果上与旧数列等效。这个常数A，就是数列an的平均数。

数据有两种类型，第一种类型的最终结果是一个和。如我卖切糕n年，第一年赚a1,第二年赚a2,第三年赚a3......那么我经营的最终结果，即到第N年共赚了多少钱，可以表示为Sn:
http://s4/bmiddle/001PgD9cgy71a9nRc5R43&690

根据上面给出的定义来推导，可以找出一个A，组成的新数列A,A,A,A.....A与数列a1,a2,a3,a4....an等效，结果都是Sn. 于是有式子：
A+A+A+A+A+A.....+A=Sn (共n个A相加）；Sn= n*A；得到 A=Sn/n，即平均数A等于数据和与数据个数的商，也即算术平均数计算公式。

另一种类型的数据的最终结果是一个积。如我卖切糕n年，假设开始经营前的本金为1，第一年资产增长a1倍，第二年是第一年的a2倍，第三年是第二年a3倍.....那么我经营的最终结果，即第N年资产为多少，可以表示为Sn:
http://s4/bmiddle/001PgD9cgy71a9oZw8X23&690

同样根据上面的定义来推导，用A替换数列中的每一项，有AAAAAAA.....A=Sn (n个A相乘）；
http://s7/bmiddle/001PgD9cgy71a9q5OXc76&690      即几何平均数的计算公式。

回到上例中。我第一年资产a1，第二年是第一年的a2倍，第三年是第二年a3倍....第n年an倍，这样一种增长模式其实相当于我每年都增长A倍，我每年增长A倍的结果与之前是等效的。

可见几何平均数与算术平均数的计算方法都可以由同一个定义推导出来，所以他们本质上是一样的，计算方法的不同是数据类型差异导致的。对于不同类型的数据，要找出等效的替代者A，必须对症下药采用不同的方法。对于增长率和增长倍数型的问题，用第二种算法才是准确的。

那么金融上常用的年均复合增长率是怎么来的呢？
我们上面得到的A是年均增长倍数，而非年均增长率。由最基本的复利公式：
http://s9/bmiddle/001PgD9cgy71a9qOYDm68&690 可知年均增长倍数=1+年均增长率。 于是用A-1，就可以得到复合增长率公式了。

下面来看个例子：老李一开始有1万，第一年投资赚了200%，第二年亏90%。那平均他每年有(200-90)/2=+55%的收益吗？不对啊！他从1万，第一年变成3万，第二年变成3000，明明是两年亏了70%呢！算术平均错在哪里呢？投资是用乘法和除法算出来的，长期复利是乘方（指数增长），所以算长期平均就应该用开方，而不是除法。老李的年化收益应该是：

  http://s15/mw690/001PgD9cgy71afpIGfQce&690

= -45%  这就是 几何平均的算法。

几何平均算出来的收益率就恰好等于每年存一个相同收益的定期存款最后获得的收益。

我们拿老李的例子验证：假设老李存了一个利息为-45%的定期存款，第一年存1万，取出来变成5500。第二年是5500-（5500*0.45）= 3025，确实是他最后的投资结果。 一般来说，一个人几何平均年化收益是x，就意味着他投资的收益相当于存了同样时间的x利息的定期存款。