为什么在物理学中的数学运算必须要有与之对应的物理过程和物理意义？

马海飞

（http://blog.sina.com.cn/gfis 2016年4月11日）

物理学理论研究对数学的依赖程度远远超过了其他任何一门自然科学领域的学科对数学的依赖。可以说，物理学理论几乎全都是依靠数学建立起来的。从事“理论物理学”研究的专家与其说他们是物理学家还不如说是数学家。这么说的一个主要依据就是他们在用数学进行物理学理论研究的过程中基本上眼睛只盯在数学过程上，却并不考虑数学与什么样的物理过程以及物理意义之间有什么样的对应关系。在他们心中，数学为主，物理为次。这实际上是导致物理学理论出现错误的致命原因之一。正确的物理学研究方法应该是每时每刻都要把数学与物理过程和物理意义对应起来进行研究。

一、为什么在物理学理论研究中的数学运算必须要有对应的物理过程和物理意义呢？

我们知道，物理学理论的研究目的都是为了解决物理学问题，而不是数学问题。因此，在这个研究中的主角是物理学而不是数学。数学的地位仅仅是一门用来精确描述物理过程和物理意义的特殊语言而已。正确的主次关系应该是用数学语言描述物理过程，而不是把物理问题及其相关的物理实验或观测数据当成做数学游戏的素材使用。应该用数学为物理学服务，而不是相反。既然要用数学为物理学服务，那当然就必须要让每一步的数学运算和表达都去对应相关的物理过程和物理意义了。只有这样的研究才具有物理学意义。否则就不是真正的物理学理论研究了。这是一个方向性问题。是一个以研究物理学问题为目的还是以展示数学技能为目的的方向性问题。

二、怎样判断数学表达有没有对应的物理意义或物理过程？

物理过程和物理意义都是可以从客观存在的物质世界中找到的。例如，速度这个概念的物理意义是很明确的。与它对应的数学表达形式就是v=ds/dt，单位是m/s。虽然有时候有些物理单位从数学表达上很难看出其中的物理过程或物理意义，但是，经过一定的形式转换之后就可以知道它对应于什么物理过程和物理意义了

例如，用数学定义出来的加速度单位是“m/s²”。这是一个纯数学形式表达的加速度单位。从表面上很难理解它的物理意义。“平方秒”在物质世界里到底是个什么形式的物理存在？根本就找不到。但只要把它变成“（m/s)/s”的形式就很容易看明白了。它的物理意义就是“单位时间内的速度变化”（dv/dt)。由此可见，只要是有物理过程或物理意义的数学表达形式总是可以找到它们之间的对应关系的。通过这个方式就可以判断数学表达有没有对应的物理过程或物理意义。

再举一个例子，那就是牛顿的引力常数G。引力常数G可不是一个单纯的比例系数或实验常数。单纯的比例系数是不需要单位的。例如圆周率p就是一个单纯的比例系数。它没有任何单位。仅仅是一个数字。而牛顿的引力常数G的单位是“ m³/kg･s²或N･m²/kg²”。这就说明它一定是具备某种物理意义的。

可是，直接从这些单位上很难看出G的物理意义是什么。要想找出它的物理意义，我们就可以像把m/s²转换成（m/s)/s的做法那样，把“ m³/kg･s²转换成（m/s²)/（kg/m²）。这就成了一个有物理意义的单位。m/s²是加速度单位，kg/m²是物质质量的平面密度单位。那从什么样的数学计算公式可以得到这样的单位呢？那个数学计算公式就是“统一常数”的计算公式。也就是G_m=g/D。其中g是自由落体加速度，单位是m/s²；D是质量场强度，单位是kg/m²。这个统一常数公式对应的是什么物理过程呢？那就是：在物理学上，质量场强度D与自由落体加速度是等效的。有多大的质量场强度，就一定有相应大小的自由落体加速度。二者之间是一个不可改变的固定关系。因此g与D的比值是一个常数。这个常数就是统一常数G_m。它的单位就是引力常数G的那个单位。

接下来要问的就是这个统一常数与引力常数之间有什么关系？这个关系通过自由落体加速度就可以找出来。因为g=GM/r²=G_mD以及D=M/4pr²，因此，GM/r²=G_mM/4pr²。由此可知：G=G_m/4p。从这个关系式中就可以知道为什么G的单位是 m³/kg･s²或N･m²/kg²了。

遗憾的是，物理学家们似乎并没有这样做。他们已经习惯了不去管数学运算与物理过程或物理意义有无关系的问题。从没见过哪位物理学家明确指出过这个引力常数G的单位所蕴含的物理意义是什么。从这就可以看出来，物理学家们并不关心数学运算与物理意义或物理过程之间的对应关系。而是把数学与物理割裂开来对待。只要从数学运算中得到了正确的结果就心满意足了。至于数学运算所反映出来的物理意义或物理过程是什么对他们来说都不重要。这就是物理学家们在研究物理学问题时只重视数学不重视物理的治学态度。这种做法显然是颠倒了物理学与数学的主次关系。

三、不看物理过程和物理意义所产生出来的恶果十分严重。

由于物理学家们在进行数学运算的时候不考虑那些运算与物理过程或物理意义是否对应，因此而产生出了很多脱离现实的神奇和玄乎的怪诞理论。几乎现代物理学的所有理论都属于这样的理论。例如最著名的爱因斯坦质能转换公式E=MC²就是如此。从这个公式中根本就看不出与之对应的物理过程是什么。把这个公式翻译成普通语言就是：能量是物质质量与光速平方的乘积。光速的平方反映出来的物理存在是什么？不知道。

在现代物理学中，光速被看作是一个常数。可是，这个常数与引力常数一样并不是一个单纯的比例系数，而是一个具有速度单位的常数。从物理学的角度来说，“速度”是不太可能成为常数的。因为只要是速度就一定是可以变化的。否则就不是速度了。如果光速真的是一个常数，那么,它的速度单位在物理过程中所反映的又是什么物理意义呢？如果从质能转换这个公式中直接寻找对应的物理过程的话，得到的结果一定是这样的：当质量为M的物体以光速C的速度运动时，它这时所具有的能量大小为E=MC²。可是，这样的物理过程并不符合爱因斯坦的理论。爱因斯坦的理论认为，E=MC²所描述的是静止不动的物体内部所含的能量（内能），并不是因为物体运动而产生出来的动能。由于这个公式没有与之对应的物理过程，因此可以说它所描述的那个物质的内能理论一定是错误的。如果不看有没有物理过程的话，就很难看出它是不是错的。一看物理过程，它就立刻现出了原形。

不看物理过程的另一个恶果就是不能正确理解数学公式或运算中隐藏着的物理意义。例如，虽然用牛顿的万有引力公式得出的计算结果是正确的，但物理学家们对这个公式所反映的物理过程并不清楚。从来都没有哪位物理学家一步一步地仔细研究过牛顿引力公式中的每项因子所代表的物理意义是什么，以及每个计算过程反映出来的物理过程是什么。比如说，公式中的“距离平方反比”所反映出来的客观存在是什么？为什么引力公式F=GMm/r²可以分解成F=mg和g=GM/r²。这两个公式所描述的物理过程是什么？引力常数G的物理意义是什么？等等。

然而，只要稍微对物理过程进行一下研究就不难发现，在万有引力现象中，加速度g并不是由力F决定的。而是由M/r²决定的。可是，M/r²又是一个什么样的客观存在呢？不去研究物理过程的人是永远也看出不来的。但是，只要抱着“正确的数学运算过程一定有与其对应的物理过程”的思路去仔细研究，就一定会发现，只要在其分子和分母上同时乘上一个4π，就可以得到这样的结果：M/r²=4p（M/4pr²）。这样，这个公式中的所有因子都有了相应的物理存在。M/4pr²所反映的客观存在恰恰正是质量场强度：D=M/4pr²。其中4pr²就是球形质量场的表面面积。经过把数学与物理过程对应起来的分析就很容易知道，自由落体加速度g是由质量场强度D决定的。在自由落体下落的过程中并不存在力的作用。这明确地反映在与g=GM/r²=G_mD这个数学公式对应的物理过程中。至于引力常数G的物理意义，在上面已经讲过了，就不做重复了。

很明显，学会从数学公式和数学运算中找出对应的物理过程和物理意义对理论物理学研究来说是一项不可缺少的技能。每个从事物理学理论研究的人都必须掌握这项技能才对。不幸的是，物理学家忽视了这项技能的重要性。他们很少从物理过程看数学运算。这就是为什么，有好几次当我把g=G_mD=GM/r²的关系拿给一些物理学专业的人看并用质量场来说明自由落体加速度g与质量场强度D的关系时，他们所有的人几乎都是这样回答的：你的g=G_mD只不过是牛顿g=GM/r²的一种数学变换形式而已。结论是：“毫无新意”。

每当我看到这样的回答都会感到由衷地遗憾。遗憾的是物理学家们竟然都忘记了他们到底研究的是物理学还是数学。从数学上看的确是毫无新意，可是从物理过程上看，g=G_mD与牛顿引力定律所描述的引力现象的产生过程截然不同。在牛顿描述的引力现象中是先有引力F存在，在引力的作用下才产生出了物体自由下落的自由落体加速度g。在引力现象中力与加速度的因果关系是先有力后有加速度。力是因，加速度是果。可是，牛顿的这个因果关系在加速度g=GM/r²上就卡住了。因为这里的g与F没有任何关系。而且，M/r²的物理存在是什么也说不清楚。所以，用“力是因，加速度是果”的物理过程与牛顿的数学运算根本就对应不起来。而从g=G_mD所对应的物理过程来看，明显是加速度出现在力之前。而且，数学运算与物理过程对应得非常好。

实际上，就像上面分析的结果一样，就是用牛顿的公式进行数学与物理过程对应起来分析的话，分析到最后也会得出加速度出现在力之前的结论。只不过物理学家们不去从物理过程上分析而已。因此他们总也认不清万有引力现象的本质是什么。这就是不分析物理过程和物理意义所产生出来的一个恶果。它挡住了人们透过数学运算过程去看清物理真相的视线。导致了物理学家们都患上了“数学性白内障”。这对物理学研究来说是一件十分遗憾的事情。本来距离真理就差一步之遥，可是物理学家们却不迈出去这一步。

四、从数学运算对应的物理过程中可以获得很多新知。

牛顿比任何人都伟大的地方就是他从人们司空见惯的苹果落地现象中看出了“万有引力现象”这个“门道”。像这样越是能从最普通的现象中看出最有科学价值的人才是最伟大的人。那些靠高精尖仪器或复杂的数学运算搞出来的成果实际上并没什么可值得赞美的。同样，其实很多重要的物理现象和自然规律可能都隐藏在最简单的数学公式之中。只要把它们对应的物理过程和物理意义找出来，就会很让人从中获得很多重要的新知。

例如，F=ma和F=mg都是再简单和基础不过的物理学中的数学公式了。可是，有谁对这两个数学公式对应的物理过程进行过详细的研究呢？好像没有。它们实在是太简单，太常见了。在任何人的眼里似乎都是不值得研究的东西。可是，如果真的对它们进行研究的话，立刻就会发现，它们背后隐藏的物理意义实在是非常重大。

从数学上讲，F=ma所表示的就是等号两边的F与ma是完全相同的东西。只不过表达方式不同而已。可是，如果从物理过程上分析的话，其实F与ma并不是相同的物理过程。F的物理过程是相互作用，而ma的物理过程是运动。虽然它们之间在数字上相等，但在物理过程上并不相同。

举个例子来说，一个人用脚去踢球，脚与球之间的相互作用是力，而球被踢到之后产生出了ma的形式那是运动。力与运动并不是一回事。力并不一定与运动同时存在。例如，一个人用9.8N的力去踢球让球产生了ma这样的运动形式。而这个力的大小刚好与把一千克砝码放在秤盘上的砝码与秤盘之间的那个力相同。球被踢出去之后是运动的，但砝码在秤盘上是静止不动的。所以，其实，从力的本质上讲，力本身与实际是否导致运动无关。只不过它也可以导致物体产生运动而已。由于力与运动之间存在F=ma这个数学上的等量规律，因此，只要从受力物体的质量和它受力后产生出来的加速度大小上就可以反过头来计算出它的受力大小。尽管如此，在物理过程上也不能把ma作为力对待。

可是，由于物理学家们不是从物理过程上分析力与加速度之间的关系，因此就把ma与F混为一谈。这种现象在万有引力问题上尤为突出。万有引力的计算公式是F=mg。与F=ma一样，从物理过程上讲，重力F与mg根本就不是一回事。但它们在数学上是相等的。F=mg的物理意义实际上是说：当一个质量为m的物体“静静地”放在地球表面上的时候，它与地面之间的相互作用力才是F。而对那些围绕地球转的月亮和卫星来说，它们与地球之间没有任何力的关系，只不过是以mg的形式在运动着而已。虽然从这个mg可以计算出F，但对正在运动中的月亮和卫星来说它实际并不存在。如果不是从物理过程上进行分析，就会盲目地从数学关系上得出月球与地球之间存在F=mg这么大的引力关系的错误结论。

重力之所以是一个静止的相互作用（例如砝码与秤盘之间的静态关系），那是因为秤盘阻止了砝码做自由落体运动的缘故。而不是某个力让砝码产生加速度的缘故。作用力对物体运动状态的改变都是短暂的。而重力则可以是永久的。只要不把砝码从秤盘上取下来，它们之间的那个重力就永远存在。经过这样的物理过程分析就可以看出来，用F=ma的思路去理解万有引力现象是完全错误的。

数学只能表现数量上的关系，表现不出因果关系。因果关系只能靠物理过程来做出判断。由于物理学家们不重视物理过程，所以，物理学理论中的很多因果关系都是反的。例如牛顿万有引力理论中的力与加速度的因果关系是反的。实际上应该是：加速度是因，力是果。宇宙大爆炸理论描述的先有能量，能量产生出物质的过程也是反的。实际上应该是先有物质，能量是从物质的运动过程中产生出来的。爱因斯坦的时间膨胀与光速不变也是反的。实际上应该是时间不变，光速才是变化的。还有就是量子理论中的“量子”也是一个与物理过程反向的产物。本来能量是连续的，但能量的作用对象是不连续的。准确地说就是那些能够反映出能量作用效果的客观存在都是实体物质。例如电子等。实体物质都是不连续的。实体物质在能量的作用下产生的结果都表现出不连续性。结果，物理学家们在用数学对能量的这种功能进行表达之后，能量就变成了不连续的，一份一份的了。

由此可见，让数学运算始终对应于其相应于物理过程不但可以让研究反映出重要的物理学意义，而且以同样的方法去重新回顾前人建立的数学公式和运算与对应的物理过程之间的关系还可以让我们从中获得很多新的认知。这还可以作为判断物理学理论是否正确的一个标准。凡是找不出与之对应的物理过程和物理意义的理论都不可能是正确的物理学理论。例如，宇宙大爆炸中的“奇点”在物理世界里根本就不可能存在，因此，无论用什么样的数学方式对其表述都不属于科学。

物理学家们如果不从物理过程和物理意义上用物理机制对物理现象进行物理学的研究，只在那里玩弄数学的话，就会像我在之前的文章中所指出的那样，把皇帝新衣式的东西拿来研究。研究到最后似乎很成功，但拿到现实的物理世界里就是一些什么都不存在的东西。造成的浪费是巨大的。而只有每一阶段都不停地让数学运算与相应的物理过程和物理意义对应起来进行研究，才能让物理学理论研究被限制在“科学的框架”内，这样的数学运算才会真正发挥出它对物理学研究的重要作用和意义。这就是为什么说在物理学理论研究的过程中，数学运算必须要与物理过程和物理意义相对应的原因。