为什么牛顿万有引力的计算公式中会用到平方反比定律？

马海飞

(http://blog.sina.com.cn/gfis2010年8月28日)

牛顿在1687年发表的万有引力定律中出现了平方反比定律。牛顿引力定律指出：任意两个质点间引力的大小与它们的质量乘积成正比，与它们距离的平方成反比。“为什么引力的大小会遵循距离平方反比定律？”是一个长期没有从根本上得到满意解答的问题。也是有关引力本质和起源的一个重要问题。

首先看一下平方反比定律是什么。根据《百度百科》的解释，平方反比定律是“指物体或粒子的作用强度，随距离的平方而线性衰减，即作用力与距离平方成反比关系。例如天体之间的万有引力，电荷之间的库仑力，或灯泡的照度都是随著距离的平方线性衰减。”（见http://baike.baidu.com/view/474387.htm)。

遗憾的是，作为一条物理学定律，这种解释完全是描述性的。并没有指明平方反比定律背后的物理机制是什么。不仅《百度百科》，所有的资料对平方反比定律的解释几乎都是如此。本人在2009年12月28日发表的博文（http://blog.sina.com.cn/s/blog_63a266370100gedn.html)中已经详细说明了平方反比定律反映的是球形场的一个特征，并且可以用简单的实验证明。也就是说，只要是符合平方反比定律的物理因素（例如重力，静电力和光等等）应该都与球形有关。我们可以这样理解球形场与这些物理因素在数值上的关系：一个符合平方反比定律的物理因素是以球形场的方式分布在空间之中的。如果我们把这个球形场分成无数个层，每一个层都是一个球面。虽然每个层上的球形面积不同，但是，在没有任何其他外因的影响下，每个层所包含的物理因素的总量是一样的。也就是这个物理因素反映在每个球面上的总量永远不变。例如，假设这个物理因素的总值为100个单位。那么它在距离场心10和100两个不同距离上的球形场面积上的总值仍然是100个单位。所不同的是，因为距离场心距离的不同而导致球面积的不同，因此，在不同球面上的物理因素量的分布密度也就不同。这100个单位的物理因素总量在距离场心10个距离单位的地方的分布密度为100/(4xπx 10²)=1/(4π)，而在距离100个距离单位的地方的密度则为：100/(4π100²)=1/(400π)。我们知道，球形面积的计算公式是A=4πr²。其中A是球面积，π是圆周率，r是从场心到球面的距离。显然，球形面积是按照“平方正比规律”变化的。因为物理因素“S”在与球形场中的每个层面面积的关系是：S/(4πr²)。如此一来，得到的计算数值就成了平方反比的结果了。平方反比定律其实就来自如此简单的球形场物理机制。

理解了平方反比定律产生的物理机制之后，就不难理解为什么万有引力（实际上应该称为“重力”）的计算中离不开平方反比定律了。重力是由质量和质量场之间的相互关系产生出来的一个力。（参见http://blog.sina.com.cn/s/blog_63a266370100gtz4.html）。质量场是一个球形场。质量场的密度就是质量在质量场球形层面面积上的分布。或者说是物体的总质量与质量场球形面积的比值。计算公式为D=M/A。其中D是质量场密度，M是物体的质量，A是质量场中决定D的那个层面的球形面积。因为A=4πr²，所以，D=M/(4πr²)。因为已经知道，重力加速度g与质量场密度D之间的比值是一个常数：G_m=g/D。因此，我们可以把G_m作为一个新的重力常数使用。这样，计算重力加速度的公式就可以写成：g=G_mD。那么，一个质量为m的物体处于密度为D的质量场中的重力计算公式就是：F=mg=G_mmD。这是一个与牛顿不同的新重力计算公式。因为D=M/(4πr²),带入前面的式子就成为了F=G_mmM/(4πr²)。从这个式子中可以非常容易理解为什么重力与平方反比定律有关了。牛顿的公式实际上是这个计算公式的不同书写形式。我们可以把F=G_mmM/(4πr²)写成：F=（G_m/4π)x（mM/r²）。把这个式子中的“G_m/4π”换成牛顿的引力常数G，即G_m/4π=G，就成了牛顿的引力公式F=GmM/r²了。虽然牛顿错误地把重力解释为“相互吸引的引力”，但是，不管是重力还是引力，在力的算上几乎是一样的。式子中的平方反比定律反映出的是球形场的作用机制。

牛顿在建立引力公式的过程中完全是根据从观察到的天体之间表面现象上的关系，而没有任何引力本质和起源的根据。他建立引力计算公式的过程就象过去人们以地球作为宇宙的中心来计算其他行星的运行轨道一样，把简单的事情给复杂化了。也因此而让人们难以理解为什么万有引力与平方反比定律有关系。当然，牛顿自己也不知道为什么。

根据以上从物理机制上的说明，任何人都不难从根本上理解为什么牛顿万有引力的计算公式中会使用到平方反比定律了。同时也会对“万有引力”的本质和起源有了更深刻的理解。

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