对条件概率的几点认识

发表于2012年12期《中小学数学》

  广东省佛山市南海中学   jane  

条件概率是高中概率教学的一个难点，因为其有着深刻的高等数学背景，深入思考需要追溯到大学的概率统计。在教学过程中，笔者发现很多老师对条件概率的理解不是很清晰，学生学习条件概率也存在很多困惑。结合自己的教学体会，笔者想从条件概率的公式推导、条件概率与积事件概率的区别、条件概率计算方法这三个方面重新审视条件概率，加深对它的认识。

1 对公式推导的深层解读

高中教材的引入：（1）探究  三张奖券中只有一张能中奖，现分别由三名同学无放回地抽取，问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小。（2）思考  如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到中奖奖券的概率又是多少？

条件概率是比较难理解的概念，教科书利用“抽奖”这一典型实例，以无放回抽取奖券的方式，通过比较抽奖前和在第一名同学没有中奖的条件下，最后一名同学中奖的概率，从而引入条件概率的概念。接下来推导条件概率的计算，教科书先采用缩小基本事件范围的方法：“已知第一名同学没有抽到中奖奖券”，该条件相当于缩小了基本事件的范围，在没有这个条件的限制下，有六个基本事件。而在这个条件限制下，只可能出现四个基本事件。从而推导出http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.001.png。对这种方法的理解，我们可以借助集合，反映样本空间的变化。
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                  若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在A中又在B中的样本点，即此点必属于AB。在这种观点下，原来的基本事件全体S缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB。

                  公式http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.001.png是以古典概型为前提的，不适用于其他的概率模型，但其思想方法可以推广。比如，几何概型。

如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形。将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE阴影内”，求http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.004.png    http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.005.png

如何把上面计算http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.006.png。而这个定义又正好为后面相互独立事件的定义奠定基础。

2      条件概率与积事件概率的区别

学习中，学生很容易将条件概率http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.007.png混淆。在面临一个实际问题的处理时，学生往往把握不准该用条件概率还是积事件概率。笔者在讲授人教版2-3（53）页的例2时，就有学生提出了疑问。

例2 一张储蓄卡的密码共有6位数字，每位数字都可从0~9中任选一个。某人在银行自动提款机上取钱时，忘记了密码的最后一位数字，求：

（1）      任意按最后一位数字，不超过2次就按对的概率；

（2）      如果他记得密码的最后一位是偶数，不超过2次就按对的概率。

【质疑】第一问，我们将其分为第一次就按对和第二次才按对两类，即http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.009.png。”

【解惑】这些学生的想法是在第一次按错的条件下，求第二次按对的概率，他们缩小了样本空间的范围。事实上，第一次按错的概率是http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.020.png

3      计算条件概率的方法

3.1      方法的灵活选择

具体运用条件概率的时候，很多学生在计算方法的选择上往往举棋不定。一般来讲，计算条件概率有两种基本的方法：（1）定义法http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.021.png；（2）缩小基本事件范围的方法。方法一较通用，方法二运用时较灵活。以书本的一道习题为例说明：

例  从一副不含大小王的52张扑克牌中不放回地抽取2次，每次抽1张，已知第一次抽到A，求第二次也抽到A的概率。

解析：记“第一次抽到A”为事件A，“第二次抽到A”为事件B。

本题若采用定义法，紧扣公式http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.022.png。

若采用缩小基本事件范围的方法，则有两种做法：

（1）用公式http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.026.png要按两次来算。

（2）缩小范围后按照古典概型直接计算。在第一次抽到A的条件下，扑克牌中仅剩下51张牌，其中有3张A，所以在第一次抽到A的条件下第二次也抽到A的概率为http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.027.png。

后者笔者称为“直接法”，在解答条件概率时简便易算。教学中我们应引导学生从不同的角度求解条件概率，鼓励用“直接法”尝试，不局限于死板的套公式。

3.2      典型题目

（1）存在包含关系的两事件

（2010湛江模拟）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只走一个景点，设事件A=“三个人去的景点不同”，B=“甲独自去一个景点”，则概率http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.028.png（    ）

A、http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.029.png    B、http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.030.png    C、http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.031.png    D、http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.032.png

解析：依题意http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.036.png。

      所以http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.037.png

评析：对于存在包含关系的两事件，求积事件时要注意转化。比如，下面这道“动物的寿命问题”也是类似方法。

      某种动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的动物，问它能活到25岁的概率是多少？

（2）全概率公式

（2010安徽）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球。先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.039.png表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件。再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件。则下列结论中正确的是_______（写出所有正确结论的编号）

①http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.040.png；   ②http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.041.png；   ③事件http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.043.png相互独立；

④http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.044.png是两两互斥的事件；  ⑤的值不能确定，因为它与http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.044.png中哪一个发生有关。       【答案】②④

其中学生容易出错的是http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.046.png需要对甲罐中取出的球进行分解，也就是大学教材中的全概率公式

http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.047.png

     http://www.nhzx.org/2008/SubjectGroup/BlogFile/779ab18fae6b44ce82d9bf14de2dc023/e0cd40718f484fc6998bac54248d85bf.048.png

    很多有着高等数学背景的高中数学知识，都是学生学习的一个难点。因为中学教材呈现给学生的只能是“掐头去尾”后的表面部分，从概念的引入开始，编者要尽量去掉大学课本中的抽象理论，用贴近生活实际的问题情境来引入。而后续的展开也只能是“点到即止”。比如，条件概率，中学教材只限于公式的推导，会用定义法和缩小基本事件范围的方法来计算，能区分条件概率和积事件概率，而跟条件概率相关的概率乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式则不在学习范围之内。但是，现在的高考命题又常常考在“与高等数学衔接处”，如2010安徽理，因此，我们的教学要把握好这个度，在尊重考纲的前提下适度扩展，重视概念教学，掌握基本方法，疑难点处讲清讲透。