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(2014-07-23 03:58:46)
标签：
佛学 |
分类： 数学 |
病态方程组：
病态方程组编辑
由实际问题得到的方程组的系数矩阵或者常数向量的元素，本身会存在一定的误差；这些初始数据的误差在计算过程中就会向前传播，从而影响到方程组的解。
2扰动定义编辑
设方程组为Ax=b
系数矩阵A和常数向量b的扰动分别记为：
A和
b
则实际求解的方程组为（A+
A）x=（b+
b）
我们有如下定义：
如果‖
A‖和‖
b‖很小，而‖
x‖很大，则称方程组Ax=b为病态（ill-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的病态矩阵；反之，如果‖
A‖和‖
b‖微小时，‖
x‖也很微小，则称方程组Ax=b为良态（well-conditioned）方程组，称系数矩阵A为关于求解方程组或求逆的良态矩阵。
病态方程组对任何算法都将产生数值不稳定性（如用LU分解法求解线性方程组时，更换主元有可能使解的精确度大大下降）
3条件数定义编辑
求解线性方程组Ax=b时，设A是n阶非奇异矩阵，‖·‖为矩阵的任一种从属范数，则
Cond（A）=‖A‖*‖A-1‖
称为矩阵A的条件数，其中A-1是A的逆矩阵。
当条件数Cond（A）比较大时，A和b的小扰动会引起解的较大误差，所以条件数Cond（A）刻画了方程组Ax=b的性态。如果条件数比较大，就说方程组是“病态”的；如果条件数比较小，就说方程组是“良态”的；当然，病态和良态是相对的。
非奇异矩阵：若n阶矩阵A的行列式不为零，即
|A|≠0，则称A为非奇异矩阵或满秩矩阵，否则称A为奇异矩阵或降秩矩阵。
行列式：行列式是数学中的一个函数，将一个http://upload.wikimedia.org/math/8/c/e/8ce7f2ced5b55654edb86bb9cefb944e.png。行列式可以看做是有向面积或体积的概念在一般的欧几里得空间中的推广。对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。行列式是向量形成的平行四边形的面积。
矩阵条件数：矩阵A的条件数等于A的范数与A的逆的范数的乘积，即cond(A)=‖A‖·‖A^(-1)‖，对应矩阵的3种范数，相应地可以定义3种条件数。 函数 cond(A,1)、cond(A)或cond(A inf) 是判断矩阵病态与否的一种度量，条件数越大矩阵越病态。
1条件数的应用编辑
条件数事实上表示了矩阵计算对于误差的敏感性。对于线性方程组Ax=b，如果A的条件数大，b的微小改变就能引起解x较大的改变，数值稳定性差。如果A的条件数小，b有微小的改变，x的改变也很微小，数值稳定性好。它也可以表示b不变，而A有微小改变时，x的变化情况。
比如线性方程组
的解是(x,y)=(0.0,0.1),
而
的解是(x,y)=(-0.17,0.22)
可见b很小的扰动就引起了x很大的变化，这就是A矩阵条件数大的表现。
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