设计背景

    本课要研究的是因式分解的概念及其方法，因式分解是在学生已经学过因数分解的概念及整式四则运算的基础上进行的。因式分解是进行代数式恒等变形的重要手段之一，它不仅在一些简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解一元二次方程、解一元二次不等式及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础，因此学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。由于本节课是学习提取公因式法和运用公式法来进行因式分解，必须以理解因式分解的概念为前提，所以本节内容的重点是因式分解的概念。由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对初一年级学生还比较生疏，接受起来有一定难度，再者本节还没涉及因式分解的具体方法，所以理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法是教学中的难点.

教学目标

    认知目标：（1）理解因式分解的概念和意义

              （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——互为逆运算，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的两种基本方法：提取公因式法和运用公式法。

    能力目标：由学生自行探求解题途径，培养学生观察、分析、判断能力和创新能力，发展学生智力，深化学生逆向思维能力和综合运用能力。

    情感目标：培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，合作探究的精神，并增强学生的集体荣誉感。

教学重点：理解因式分解的概念

教学难点：因式分解的两种基本方法探索过程是本课的难点

教学准备：多媒体

教学过程

一、教学片段一：

1．提出问题，创设情境

比一比：看谁算得又对又快？（投影）

(1)若x=-2,则20x²+40x=                    

(2)若a=201,b=199,则a²-b²=                       

(3)若a=199,b=-1,则a²-2ab+b²=                                      

 （学生活动：4人一组讨论交流了各自的不同算法，请每题算得最快的同学谈思路，得出最佳解题方法。）

生1：若x=-2,则20x²+40x=20x（x+2）=20×(-2)×(-2+2)=0

生2：若a=201,b=199,则a²-b²=(a+b)(a-b)=(201+199)(201-199)=800

生3：若a=199,b=-1,则a²-2ab+b²=(a-b) ²=(199+1)² =40000

 2．观察分析，探究新知

 (1)观察：a²-b²=(a+b)(a-b)   ①

        a²-2ab+b² =(a-b) ²     ②

              20x²+40x=20x(x+3) ③

师：它们的左边都是一个什么式子？右边又是什么形式？

生：它们的左边都是一个多项式，右边都是几个整式的积的形式。

(2)师：类比小学学过的因数分解概念，（如30=2×3×5）你能得出因式分解的概念吗？

简评：通过创设问题情景，引导学生观察各式的特点，让学生之间进行交流概括，这样不仅提高了学生的概括能力，也促进了学生的个性发展，同时以设疑探究的方式激发了学生的求知欲望，提高了学生的学习兴趣和学习积极性。 从而为明确新课的学习目标打下伏笔。

二、教学片段二

合作探究，掌握理论

1．因式分解的概念。各小组经过一番讨论交流后，对因式分解的概念给出了多种叙述，我从中选择了一个具有代表性的叙述：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

2．巩固练习

 说一说：下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解？哪些不是？为什么？（投影）

（1）（y+3）（y-3）=y²-9

（2）x²-16=（x+4）（x-4）

（3）a²+2ab+b²=（a+b）²

（4）4a²+8a=4a（a+2）

（5）x²-4+3x=（x-2）（x+2）+3x

（7）15a³bc=5a²b·3ac

     （在学生独立思考的基础之上，开展小组讨论交流，得出了不同的答案）

生：正确的答案：（2）（3）（4）是因式分解，（1）（5）（6）（7）不是因式分解

    师：你是怎样理解的？（让说出正确答案的同学给出自己的见解）

    生：紧扣因式分解的概念

(简评：这是一个对因式分解的概念实践、感知、内化的过程，学生通过对各式观察、分析、交流合作，体验解决问题过程中与他人合作的重要性。)

3．探究因式分解与整式乘法的关系：

 

              因式分解

   结合：a²-b²=========（a+b）（a-b）（投影）

              整式乘法

   师：上述等式从左到右有什么特点？

生：从左到右是因式分解，其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的

 积的形式。

师：从右到左有什么特点？

生：从右到左是整式乘法，其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。

   师引导，生归纳：因式分解与整式乘法正好互为逆变形。

师：你能利用因式分解与整式乘法正好相反这一关系，举出几个因式分解的例子吗？

生1：由(x+2)(x-2)=x²-4得x²-4=(x+2)(x-2)

生2：由(x+3)(x-1)=x²+2x-3得x²+2x-3=(x+3)(x-1)

生3：由（a+b）² = a²+2ab+b² 得a²+2ab+b²=（a+b）²

生4：由（a-b）² = a²-2ab+b² 得a²-2ab+b²=（a-b）²等等

(简评：让学生经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生的逆向思考问题的能力和推理能力。)

三、教学片段三

例题教学，运用新知：

师：类比已学过的公约数的概念，你能说出什么叫做多项式的公因式吗？

（师引导）生答：多项式的各项都含有的因式，称为这个多项式的公因式。

    例1练一练:先找出下列各多项式的公因式然后再因式分解（投影）（差生板演,其余同学在自己练习本上完成）

 1．师巡视，重点指导基础较差的学生。

2．学生独立完成后各小组成员相互讨论更正，并对板演的题目，评判矫正，在老师的引导下由学生归纳总结确定公因式的方法：（1）当多项式的各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；而字母应取各项相同的字母，且各相同字母的指数取次数最低的。（2）当多项式的首项是负数，把“-” 号作为公因式的符号写在括号外，使括号内首项的系数为正，但要注意多项式的各项要变号。

(简评：学生通过计算、讨论更正、归纳总结等活动，感受知识的形成与发展的过程，使学生在尝试练习，合作交流中真正把握住如何确定公因式。)

 例2: 议一议：下列各式因式分解的结果是否正确？为什么？（投影）

         (1) x²-12x+36=(x+6)²

(2)b³-2b²-b=b(b²-2b)      (3) x²-2x+1=x(x-2)+1

   (4)a⁴-16=(a²+4)(a²-4)

各小组经过一番激烈的合作交流，各抒己见，口答了上述每题错误之处：     

生1：题（1）5x相当于平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)中的b。

生2：题（2）是没有正确选用差平方公式。

生3：题（3）是提取公因式后括号内的多项式漏项。

生4：题（4）不符合因式分解的概念，其结果不是几个整式积的形式。

生5：题（5）因式分解不彻底。

例3：试一试：把下列各式分解因式（投影）

   （1）18a²-50           (2)2x²y²-8xy+8

  (3)81x⁴-72x²y²+16y⁴          (4)4x²-4x(y-1)+(y-1)²

1．师提示： 运算有运算的步骤，同样因式分解也有因式分解的步骤，我们先实践一下，再归纳步骤。

2．师巡视，重点指导基础较差的学生。（四名差生板演，其余同学在自己练习本上完成）

3．待多数同学完成后，各小组成员相互批改，评判矫正如下：（1）（2）两个多项式的各项有公因式时，首先要提取公因式，然后能分解的要继续分解，直到不能再分解为止.（3）（4）两个多项式没有公因式，则可以通过项数运用公式法分解，一般的规律是：两项可考虑用平方差公式，三项可考虑用完全平方公式。另外（4）中应把y-1看作一个整体，整体代换是今后数学学习中常用的方法。最后，因式分解的一般步骤可概括为：“一提取，二数项，三到底”即：先提公因式，再运用公式法。

注意：（1）分解完后一定要化简，将同类项合并。（2）也可以把因式分解的结果逆用整式的乘法来检验。

(简评：在课堂教学中坚持启发式教学原则，引导学生亲身经历知识的发生、发展、形成过程，，鼓励学生充分地动脑、动手、动口，积极参与到教学中来，充分体现了以“教师为主导，学生为主体”的原则。)

四、随堂小结，形成体系

       通过本节课的学习，你有哪些收获？（由多名学生回答，相互补充，最后教师归纳总结）

1．因式分解的概念。

    2．因式分解与整式乘法是两种相反的恒等变形，因式分解的思维过程实际是整式乘法的逆向思维的过程。

    3．利用2中关系，可以从整式乘法探求因式分解的结果。

    4．因式分解的一般步骤：先提公因式，再运用公式法。

五 、赛一赛：当堂训练，巩固新知

 必做题：把下列各式分解因式：（完成到课堂作业本上）

  (1) 12xyz-9x²y    (2)-4a⁴-6a³+2a²b     (3) 49(a-b)²-16(a+b)²

  (4)  3ax²—3ay²    (5) –a+2a²-a³              (6) x⁴y⁴-8x²y²+16

 选做题： (1)(a+b)²-4(a+b-1)

          (2)4x²+12xy-9z²+9y²

教学反思

1．通过由学生自己得出因式分解概念及其与整式乘法的关系的结论，了解学生观察、分

析问题的能力和逆向思维能力及创新能力, 发现问题，及时反馈。

2．把因式分解概念及其与整式乘法的关系作为主线，训练学生思维，以设疑——感知——概括——运用为教学程序，充分遵循学生的认知规律，使学生能顺利地掌握重点，突 破难点，提高能力。

3．通过例题及练习，了解学生对概念的理解程度和实际运用能力，最大限度地让学生暴露问题和认知误差，及时发现和弥补教与学中的遗漏和不足，从而及时调控教与学。

4．通过课堂小结，了解学生对概念的熟悉程度和归纳概括能力、语言表达能力、知识运用能力，教师恰当地给予引导和启迪。

5．通过当堂作业，了解学生对知识的掌握情况与综合运用知识及灵活运用知识的能力，教师及时批阅，及时反馈讲评，同时对个别学生面批作业，可以更及时、更准确地了解学生思维发展的情况，矫正的针对性更强。将作业设计为选做和必做，让不同层次的学生得到不同的发展，真正起到“培尖补差”的效果，

6．改变传统言传身教的方式，利用计算机辅助教学手段和“先学后教，当堂训练”的教学模式进行教学，不仅增大了教学的容量和直观性，更让每位学生都有事可做，从而提高教学效率和教学质量。