作者自述：

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本博介绍：

哥德巴赫猜想是数学中最著名的猜想之一，甚至被誉为数学皇冠上的明珠。

哥德巴赫猜想的内容为：在自然数列中，每一个（大于4）的偶数，都可以由两个质数（即素数）两加而成，例如8=5+3，22=11+11等。据央视介绍陈景润的纪录片中介绍，据说有人算过1百亿这个大偶数，也可以由两个质数相加而成。这个现象吸引了多少数学家爱好者的兴趣，已经无人知晓，但从数学界把哥德巴赫猜想与费马大定理等看成数学王国四大猜想来看，可知其地位。

据央视纪录片中介绍，1956年中国科学院成立数学研究所时，把攻克哥德巴赫猜想作为首先目标，不过，三年后无功而弃。陈景润偷偷研究，证明了1+2，即偶数=质数+质数*质数，是目前世界上公认的有关哥德巴赫猜想的最高成就。但是，有人认为陈景润证明的并不是哥德巴赫猜想的本意，而且还有逻辑缺口。关于陈景润的证明评价，读者可以自行到网上搜索一下。

本人在数学方面是外行，但对于数学的基本逻辑，有着哲学层面上的理解。

凡是数学证明，前提必须是被证明对象存在着数学逻辑关系。证明的过程就是寻找该逻辑关系的过程。证明的结果就是把该逻辑关系找出来。如果其中不存在着逻辑关系，是不可能被证明的。

我通过程序演算，发现任何偶数都有素数对，是天经地义的事，并不需要得到逻辑关系的支持，也没有逻辑关系可以支持。为什么？因为最拥有最少的偶数2，就有一对素数1+1，其它比2大的偶数都拥有比2多的素数，并且，偶数越大，其所拥有的素数也就越多，素数组成一对的几率也就越高，呈递增关系。例如10000这个偶数，居然拥有1229个素数，占其所拥有的奇数的24%以上，这么多的素数，相不加成一对，也难。可想而知，电视中所说的1百亿这个偶数会有多少素数？连2这个最小的偶数都有素数对，哪里还能有比它大的偶数不能拥有素数对？

因此，哥德巴赫猜想纯粹是废话。

通过进一步研究，本人发现，哥德巴赫猜想所说的“一个偶数等于两个素数之和”的现象，本质上只是“一个偶数等于两个奇数之和”的现象，这并不稀罕，只不过恰巧其中有一些奇数是素数罢了。而这些素数，之所以是素数，完全与该偶数无关。

偶数的形成，与素数的形成，或者说两者的来源，基本上没有必然的逻辑关系。

偶数是被2乘出来的数，素数是被其它任何数（不包括该素数自己及1）除剩下来、不能被整除的数。这两者之间没有必须逻辑关系，风牛马不相及。就算有一点关系，也就是一点点，即偶数能被2整除、素数不能被2整除这一相反关系，其它陈景润等能在证明时用上的逻辑关系，很多是恰巧放上去可以用一下，但不严密的，只是因为高概率的现象，看起来似乎象是有逻辑关系而已。

所谓的哥德巴赫猜想所描述的现象，只是一个概率问题，只是因为素数太多，占奇数的比率高，才出现的貌似的规律，其实只是一个概率问题。就象说：每一个国家都有一对黑头发的夫妻。这个说法，你用事实去查证一下，发现确实是事实，但黑头发与国家之间，没有必须的逻辑关系。

因此，哥德巴赫猜想既是一个无法被证明的猜想，也是一个无法被否定的现象。证明它，并无意义。

 

 

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论文正文：

 

 

对哥德巴赫猜想的质疑：哥德巴赫猜想是一个伪命题

Doubts on the Academic values of the Goldbach conjecture

 

 

摘要：

       哥德巴赫猜想可能而且应该是一个伪命题，因为在哥德巴赫猜想所述的自然数列中，偶数与素数对之间没有内在的必然联系。哥德巴赫猜想所描述的偶数等于“两个素数”之和，本质是“两个奇数”之和，只不过奇数中有大量的素数，才造成“两个素数之和”的巧遇成为常态。一个偶数，拥有多少个素数，基本上取决于素数的分布密度；拥有多少对素数之和，是一个概率问题。因此，缺乏内在逻辑关系的哥德巴赫猜想，应该是一个伪命题，不可能被证明。

 

关键词：哥德巴赫猜想，素数，偶数，奇数

 

前言：

       数学本质上是一个逻辑表达及逻辑运算的工具。凡是可以被证明的数学命题或现象，背后都有着必然的内在逻辑联系。所谓的证明，即是找出这个内在逻辑联系。

       因此，当一个数学命题或现象长期来未被证明时，有两个可能：一个可能是内在联系环节过多，难以摸索；另一个可能是该命题本来就是伪的，无内在逻辑关系。

       哥德巴赫猜想显然属于后者。哥德巴赫显猜想强调了偶数与素数对的关系，将素数从奇数中分割出来，单独将素数与偶数拉近关系，从而建立猜想命题。然而，由于忽视到偶数与素数之间缺乏逻辑关系这一底层机理，轻率地建立这个命题，无异于设置陷阱。

想必哥德巴赫本人早就注意过偶数与奇数对之间的关系，但认为不值得研究，所以把奇数中的素数单独拿出来观察，才觉得稀罕。然而，在没有计算机的时代，把一个较大偶数所拥有的素数都找出来，是一件很吃力的事，正因如此，哥德巴赫没有算一下一个偶数通常拥有多少个素数，没有算一下素数占奇数的比例是多少。如果他算一下，也许结论会不一样。

大量的素数，高比例的素数，首先在概率上就决定了任何偶数都会至少有一对素数和。任何偶数等于一对素数和，是一事很正常的事，就象任何国家都有一对黑头发的夫妻一样。反过来，某一个偶数不存在素数对，才是一件怪事。

 

1、 在自然数列中，一个偶数到底拥有多少素数？

1.1    偶数与奇数：

偶数是能被2整除的自然数。奇数是不能被2整除的自然数。

按照哥德巴赫猜想的本意，我们这里所说的一个偶数的“范围”，是指小于该偶数的自然数的集合；所谓“一个偶数拥有多少个奇数”，是指在自然数列的排序中，比该偶数小的自然奇数。素数被包括在奇数中。

出于偶数和奇数的定义，任何一个偶数，所拥有的奇数个数，等于该偶数数值的二分之一。假如某偶数是m，则其拥有的奇数个数是m/2个。

偶数所拥有的奇数个数，与其数值的大小，呈正比关系。最小的偶数是2，拥有一个奇数1，所以其它比它大的偶数，都拥有相应个数的奇数。

 

1.2    偶数与素数：

素数是不能被其它数（1除外）的自然数整除的数。素数是奇数的一部分，因此任何偶然天然地拥有一定数量的素数。

由于在自然数列中，较大偶数先天就包含了较小的偶数，因此，较大偶数先天就拥有了较小偶数所拥有的奇数和素数，此外，还拥有了属于它自己的奇数和素数。

例如，偶数4拥有1、3两个奇数和素数，而6拥有了1、3、5三个奇数和素数。

因此，随着偶数的数值的增加，其所拥有的素数个数也在增加，呈递增关系，但不是正比关系。只要最小的偶数拥有素数，那么其它任何偶数都拥有相应个数的素数。

 

1.3    偶数与素数对：

1.3.1 最小的偶数也拥有素数对

最小的偶数2，它只拥有一个素数1，不含有其它偶数和奇数，所以2只能由1+1的素数相加而成，只拥有一个素数对。

1.3.2 偶数数值与素数对之间的关系总体上呈递增关系

从概率上讲，一个偶数可以由多少对素数相加而成，取决于它所拥有的素数的个数。偶数拥有的素数的个数越多，相加成该偶数的素数对也就越多。

偶数4，由于拥有1、2、3三个数，所以可以由1+3、2+2、3+1三个数对组成，其中一个是偶数对，另两个是素数对，素数占1/3，素数对也占1/3，完全吻合。

偶数6，由于拥有1、2、3、4、5五个数，所以可以由1+5、2+4、3+3，4+2、5+1这五对数之和组成，其中两个是偶数对，另三个是素数对，素数占3/5，素数对也占3/5，完全吻合。

随着偶数的数值的增加，其拥有的素数、奇数和偶数的个数也递增，所以组成该偶数的数对也递增，包括：素数+素数、素数+非素数、非素数+非素数。

       1.3.3 偶数排除素数对的条件

只有当一个偶数是某个素数的公倍数时，这些素数被明确排除在素数对之外，上述素数对的递增关系有个别有限地改变。例如30是素数3、5的公倍数，因此3+27、5+25等明确地挤出素数对的队伍，对概率结果产生微小的改变。

但大体上，一个偶数拥有素数对的对数，与偶数的数值大小成递增关系。偶数的数值越大，其拥有的素数对也就越多。

由于没有一个偶数是其所拥有的所有素数的整数倍，因此，没有一个偶数能排除所有素数对，彻底改变概率，由全部非素数对组成。例如30不可能是17的整数倍，因为17乘以2（最小的倍数）已经大于30，所以30不可能排除“17+素数”这个可能性，同样，30也不可能排除19、23、29这几个素数组成素数对的可能性。即使是小于其二分之一的素数7、11、13，由于公倍数是相乘而成的，因此它们构成公倍数，也必定远远大于30这个偶数，30不可能同时是它们的公倍数。7、11、13、17、19、23、29最终是否组成30的素数对，仍然由概率决定。

由于偶数无法彻底排除其所拥有的素数构成素数对，所以，按照概率规则，任何一个偶数，必定会由素数对构成。这也就是哥德巴赫猜想所描述的“任何一个偶数都可以由两个素数相加而成”的现象的必然性所在。反过来，一个偶数排除全部素数对，纯粹由非素数对组成，才是违背概率的，才是不可能的。

       1.3.3 小结

哥德巴赫猜想所描述的现象，只是一个因素数的分布关系而附带所产生的现象。在这个分布关系中，拥有最少素数对的偶数是2，但由于2由1+1这个素数对构成已经是铁的事实，且其它大于2的偶数不但必然地拥有素数对，而且所拥有的素数对的数量比2所拥有的素数对的数量更多，因此，哥德巴赫猜想是无需证明的，没有证明价值。

 

1.4    实例演示：

通过计算机程序的运算，作者对哥德巴赫猜想所描述的现象进行实例分析，得出与上述相同的结论。

在此，以偶数10、20、50、100、200、500、1000、5000、10000为例，详见表1.1：

偶数	10	20	50	100	200	500	1000	5000	10000
素数（个）	4	8	15	25	46	95	168	669	1229
奇数（个）	5	10	25	50	100	250	500	2500	5000
素数个数/奇数个数	80%	80%	60%	50%	46%	38%	33.6%	26.76%	24.58%

表1.1

从表1.1中，不难观察到一个现象： 在每一个偶数范围内，都包含有至少一个素数，并且随着偶数值的增大，所包含的素数个数也相应增大。

我们以偶数100为例：

在偶数100以内，有素数25个，占全部奇数的50%；非素数的奇数25个，占全部奇数的50%；共有奇数50个。

当任意取两个奇数相加成100时，从概率上计算：

（素数+素数）的概率是：50%*50%=25%

（非素数奇数+非素数奇数）的概率是：50%*50%=25%

（素数+非素数奇数）或（非素数奇数+素数）的概率是：2*50%*50%=50%

       由于在100范围内，两个奇数相加而成100的总对数是50对，因此，理论上素数与非素数构成的对数应该是：

（素数+素数）理论对数：25%*50≈12.5（对）

（非素数奇数+非素数奇数）理论对数：25%*50≈12.5（对）

（素数+非素数奇数）或（非素数奇数+素数）理论对数：50%*50≈25（对）

       那么，偶数100以内的实际（素数+素数）对数有多少对？答案是：12对。它们是：

100=3+97，100=11+89，100=17+83，100=29+71，100=41+59，100=47+53，100=53+47，100=59+41，100=71+29，100=83+17，100=89+11，100=97+3

       可以看出，偶数100以内的实际（素数+素数）对数与其理论对数基本吻合。

       这说明：哥德巴赫猜想的“一个大于2的偶数由两个素数之和构成”的现象，只是一个很平常的奇数之和的一部分，而不是一个有特殊意义的现象；出现这个现象，只是一个概率问题，而不是一个特殊意义的问题。

       在表1.2中，我们把表1.1中的几个示例偶数进行同样的统计，结果如下：

偶数	10	20	50	100	200	500	1000	5000	10000
素数对理论数（对）	3.2	6.4	9	12.5	21.2	36.1	56.5	179.0	302.1
素数对实际数（对）	3	6	8	12	18	28	56	154	254

                                                        表1.2

       从表1.2中可以看出，偶数的实际素数对数，与其理论对数，基本上吻合。只是随着偶数值的增大，素数对的实际对数与理论对数有比较小的差值。不过，这个差值并不影响构成哥德巴赫猜想现象的事实。

      

从上述统计中，可以得出以下统计规律：

统计规律一：

任何偶数范围内，都包含有至少一个素数，并且随着偶数值的增大，所包含的素数个数也相应增大。

统计规律二：

任何偶数都可以由两个素数相加而成，任何一个偶数都至少可以由一对素数相加而成。随着偶数值的增加，素数之和的对数也增加。

 

       由此，可以得出以下推论：

推论一：

素数对构成偶数，与奇数对构成偶数一样，只是一个正常现象。

素数作为奇数的一部分，必定象奇数一样，能构成素数对。相反，假如两个素数不能相加成偶数，才值得研究。

推论二：

由于随着偶数数值的增大，构成该偶数的素数对的对数也在增加，所以其学术研究价值越低。

由此可见，只要能证明最小的偶数存在着素数对即可。然而，最小偶数2显然就是由两个素数组成。素数对本质上只是奇数数的表现。因此素数对的学术价值基本上就是奇数对的学术价值。

 

一个偶数拥有多少对素数对，基本上跟其范围内的素数占奇数的比例密切相关。因此，哥德巴赫猜想所表述的现象，只是有多少素数对的概率问题，而不是有没有素数对的问题。

 

       因此，哥德巴赫猜想的问题，不是一个偶数是否可以表达为两个素数的问题，而是一个每个偶数可以由多少对素数相加而成的问题。其学术价值，与“任何一个偶数可以由两个奇数相加而成”的学术价值相同，说白了，哥德巴赫猜想没有多少学术价值。

 

2、 哥德巴赫猜想实质是一个偶数等于两个奇数之和，与素数的特质无关

哥德巴赫猜想所描述的偶数与素数之间的关系，本质上是偶数与奇数之间的关系。素数的最基本的特征是其只能被自身及1整除，而这个最基本的特征，在哥德巴赫猜想中没有丝毫体现和关联。因此，在逻辑关系上，哥德巴赫猜想中的所谓的素数只表现出奇数的特征，被当成奇数使用的，只是它们碰巧是素数，又被作为素数提取出来描述。

 

2.1哥德巴赫猜想中的偶数与素数的逻辑关系：

在哥德巴赫猜想中，偶数与素数之间的关系只是一种简单的加法关系。在这个加法关系中，素数的地位与一般奇数和偶数在其中的地位并无二致。

例如：4=1+1，4=2+2，4=3+1，这三者的逻辑表达关系是一样的。素数在其中并无特殊地位。

哥德巴赫猜想实质上是一个描述加法关系的猜想。这个猜想并未包含素数的最基本的特征。

 

2.2素数的来源中的逻辑关系：

素数最基本的特征是只能被其自身和1整除。素数的来源，是被除出来的。因此，素数身上，体现着自然数除法的痕迹。人们在判断一个自然数是否素数时，采用的方法就是看它是否能被1以外的其它自然数整除。

由于素数不能被1以外的其它数整除，包括不能被2整除，因此素数首先不是偶数，是奇数。如果除到2为止，那么，素数数列就与奇数数列完全重合。只有当再除以其它数时，素数就一步一步地从奇数数列中分离出来了，成为真正的素数。

因此，素数与奇数、偶数形成一个判断上的除法关系。

 

2.3 哥德巴赫猜想中的素数与真正的素数无关：

从2.1和2.2小节中可以看出，哥德巴赫猜想所描述的偶数与素数的关系，仅仅是一个加法的关系，如果其中没有包含除法，那么，哥德巴赫猜想所描述的偶数与素的关系，在逻辑上仅仅是偶数与奇数之间的关系。只是因为哥德巴赫把这个关系说成是偶数与素数的关系，把人们的注意焦点吸引到素数上来，才被误认为是偶数与素数之间的关系。

素数的来源及最基本的特征就是能否被1以外的其它自然数整除。这一点，在哥德巴赫猜想中，既没有直接也没有间接地体现出来。在哥德巴赫猜想中，偶数与素数原本是无关的，就象素数与微积分之间没有本质关联一样。

由于哥德巴赫猜想与素数基本特征的无关性，因此哥德巴赫猜想是一个伪命题。证明它，应该是一件不可能完成的任务，因为其中没有逻辑关系可以被证明，也就是说，其中没有可以用来证明的对象。

 

3、  结论：

任何数学证明，本质上是对其内部的逻辑关系的挖掘。哥德巴赫猜想所描述的偶数与素数对的关系，缺乏内在的逻辑联系，因此它是不可能被证明的。

哥德巴赫猜想本质上是一个偶数与奇数之和的关系，只不过恰巧某些奇数是素数。而这种恰巧，又是由素数占奇数的比例决定的，因此这只是一个概率问题，不是一个必然问题。

由于哥德巴赫猜想中的素数，实质上只体现出奇数的特征，与素数的特征无关，因此哥德巴赫猜想是一个伪命题，没有被证明的必要。

哥德巴赫猜想幸运地得到实例支持，遂成百年迷局，甚至被誉为数学皇冠上的明珠。后世的众多研究者之所以被诱入这个陷阱，概其因，在于数学研究者大多唯数学是瞻，局限于数学层面思考，却忽视其哲学本质。

 

 

 

杭一平