第七讲  最小公倍数

知识导航

几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。我们可以把自然数a、b的最大公因数记作【a,b】，如果（a,b）=1，【a,b】=a×b。

两个数的最大公因数和最小公倍数有这样的关系：

最大公因数×最小公倍数=两个数的乘积。既（a,b）×【a,b】=a×b。

要解答求最小公倍数的问题，关键是要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通常就是求最小公倍数，解题时，要避免和最大公因数问题混淆。

精典例题

例1：某校只有两路公共汽车，1路车每4分钟发一辆，2路车每5分钟发一辆，这两路公共汽车同时发车后，至少再经过多少分钟又同时发车？

思路点拨：1路车以后每次发车时间都是4的倍数，2路车每次发车时间都是5的倍数。当他们同时发车后到第二次同时发车，经过的时间就是4和5的最小公倍数。

【4，5】=20分。    答：至少再经过20分钟又同时发车。

 

模仿练习

某县城有三路公共汽车，1路车每3分钟发一辆，2路车每5分钟发一辆，3路车每7分钟发一辆。这三辆车同时发出后，至少再经过多少分钟又同时发车？

【分析与解】三路车从同时发车后，又再次同时发车，经过的时间就是3，5，7的最小公倍数。

   【3，5，7】=105分钟。            答：至少再经过105分钟后又同时发车。

 

例2：一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？

思路点拨：要把若干个长方体堆成正方体，它的棱长应是长方体长、宽和高的公倍数。现在要求长方体砖块最少。它的棱长应该是长方体长、宽和高的最小公倍数。求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体的块数。

①正方体的棱长：【20，12，6】=60厘米。

②需要的块数：（60÷20）×（60÷12）×（60÷6）=150（块）

答：至少需要这样的砖头150块。

 

模仿练习

用长9厘米，宽6厘米，高7厘米的长方体木块叠成一个正方体，至少需要用这样的长方体多少块？

【分析与解】要使用的长方体块数最少，则叠成的正方体应最少。则正方体棱长应是长方体的长、宽和高的最小公倍数。

①正方体的棱长：【9，6，7】=126厘米。

②需要的块数：（126÷9）×（126÷6）×（126÷7）=5292（块）

答：至少需要这样的木块5292块。

 

例3：一个数被3除余1，被4除余2，被7除余5，这样的数中最小一个是     。【2009年成都嘉祥外国语学校六年级衔接班招生考试题】

思路点拨：这个数被3除余1，被4除余2，被7除余5，余数各不相同。但余数与除数的差相同，余数都比除数少2.被3除余1，则这个数比3的倍数少2；被4除余2，则这个数比4的倍数少2；被7除余5，则这个数比7的倍数少2.则这个数比3、4和7的公倍数少2。这样的数中最小的一个，这个数就比3，4，7的最小公倍数少2.

【3，4，7】=84，  84-2=82.

答：这样的数中最小一个是82.

模仿练习

有一个自然数，被10除余7，被7除余4，被4除余1.这个自然数最小是多少？

【分析与解】这个自然数除以10，除以7，除以4的余数各不相同，但余数与除数都相差3.这个自然数比10的倍数少3，比7的倍数少3，比4的倍数少3.这个自然数比10，7，4的公倍数少3.要求这个自然数最小值，就比10，7，4的最小公倍数少3.

【10，7，4】=140，这个自然数是：140-3=137.

答：这个自然数最小是137.

学以致用

1.分别求出下面每组数的最小公倍数。

45和55         24和48          11和23         9，27和36

【45，55】=495；  【24，48】=48；    【11，23】=253；  【9，27，36】=108.

 

2.甲、乙、丙从同一起点出发，沿同一方向在圆形跑道上跑步，甲跑一圈用120秒，乙跑一圈用80秒，丙跑一圈用100秒。再过多少时间，三人第二次同时从起点出发？

【120，80，100】=1200秒=20分

答：再过20分钟，三人第二次同时从起点出发。

 

3.用一些长32厘米，宽30厘米的地砖铺正方形地面，则这个正方形的面积至少是多少平方厘米？

【分析与解】①正方形边长：【32，30】=480厘米。

②正方形面积：480×480=230400平方厘米。  答：这个正方形的面积至少是230400平方厘米。

 

4.有200块长6厘米，宽4厘米，高3厘米的长方体木块，要把这些木块堆成一个尽可能大的正方体，这个正方体的体积是多少立方厘米？

【分析与解】堆成的正方体棱长是长方体长、宽和高的公倍数。木块有200块，堆成最大的正方体。我们可以先从最小公倍数进行思考，从小列举公倍数及需要的块数。块数最多的正方体就最大。

①最小正方体棱长：【6，4，3】=12厘米，需要长方体块数：（12÷6）×（12÷4）×（12÷3）=24块。

②较大正方体棱长：24，需要长方体块数：（24÷6）×（24÷4）×（24÷3）=192块。

接近200块，所以这个最大的正方体棱长为24厘米。

③正方体的体积：24×24×24=13824立方厘米

答：这个正方体体积是13824立方厘米。

 

5.一行小树苗，从第一棵到最后一棵的距离是500米。原来每两棵小树苗的距离是2米，如果要改为每隔5米栽一棵，两端不算，中间还有多少棵树苗不必移动？

【分析与解】从起点开始，原来的距离是2的倍数，现在的距离是5的倍数。从起点开始，不必移动的树苗，既是2的倍数，又是5的倍数，即是2和5的公倍数。

①从起点开始，不移动的树苗相隔：【2，5】=10米。

②从起点开始，不移动的树苗共有：500÷10+1=51棵。

③两端不算，不移动的树苗有：51-2=49棵。   答：中间还有49棵树苗不必移动。

 

6. 甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？

【分析与解】甲、乙、丙要回到出发点，则他们跑的路程应该是600的倍数。他们重新回到出发点的时间也是各自跑一圈时间的公倍数。

①甲跑一圈时间：600÷3=200秒。乙跑一圈时间：600÷4=150秒。丙跑一圈时间：600÷2=300秒。

②他们同时出发，又同时回到出发点需：【200，150，300】=600秒。

答：经过600秒三人又同时从出发点出发。

 

7.一盒围棋子，4颗4颗的数多3颗，6颗6颗的数多5棵，15棵15棵的数多14棵，这盒棋子在150棵至200棵之间，问共有多少颗棋子？

【分析与解】棋子总数÷4余3，÷6余5，÷15余14。余数各不相同，但余数与除数都相差1，说明棋子总数比4，6和15的公倍数少1.我们可以先找出最小公倍数，再找出符合条件的公倍数，求出棋子总数。

①【4，6，15】=60.

②150至200之间，4，6和15的公倍数有：180.

③棋子总数：180-1=179个。

答：共有围棋子179个。

 

8. 两个数的最大公因数是15，最小公倍数是90，这两个数分别是多少？

【分析与解】设这两个数分别是A、B。则（A、B）=15，【A、B】=90.

A=15a        15ab=90        ab=6,将6分解为两个互质数的乘积。6=1×6=2×3              

B=15b

①A=1×15=15      ② A=2×15=30

B=6×15=90         B=3×15=45    答：这两个数分别是15和90，或30和45.