第五讲  分解质因数

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1、把一个合数分解成几个质数相乘的形式叫做分解质因数，这几个质数叫做这个合数的质因数。一般是用“短除法”逐级将一个合数分解质因数。

2、求一个合数的因数个数与所有因数的和的方法，是先把这个数分解质因数，再根据不同质因数的个数，用下面的公式计算。

自然数M分解质因数：M=A^a×B^b…×F^f。

则M的因数个数有：（a+1）×（b+1）×…×（f+1）个。

M所有因数的和：（A⁰+A¹+…+A^a）×（B⁰+B¹ +…+B^b）×……×（F⁰+F¹+…+F^f）.

精典例题

例1：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？

思路点拨

先把18分解质因数：18=2×3×3。可以看出：18的因数有1，2，3，6，9，18.除开1和18，还有4个因数，所以，一共有4种不同的方法。

【分析与解】方法一：平均分成若干份，则每份个数是18的因数。18的因数有多少个，就有多少种分法。因为18=2¹×3²，18的因数有：（1+1）×（2+1）=6个。共有6种分法，因为要求每份大于1并小于18，所以去掉1和18两个因数。共有4种分法。

方法二：列举18的因数。18=1×18=2×9=1×18，有6个因数。除开1和18两种情况，还有4种分法。

模仿练习

有60个同学分成人数相等的小组去慰问解放军叔叔，每组不少于6人，不多于15人。有哪几种分法？

【分析与解】60为分成人数相等的人数，每组人数是60的因数，60的因数有多少个就有多少种分法。

①分解质因数：60=2²×3¹×5¹；

②60的因数有：（2+1）×（1+1）×（1+1）=12个。

③除开：1，2，3，4，5和20，30，60八种情况。

④实际分法有：12-8=4种。

列举法：60=1×60=2×30=3×20=4×15=5×12=6×10，共有12个因数，只有6，10，12，15个因数符合条件，所以有4种分法。

答：有4种分法，分别是每组6人，10人，12人，15人。

例2：有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大一岁，而他们的年龄的乘积是5040.他们的年龄是多少？

思路点拨：根据题意，4个学生年龄乘积是5040，则每个学生年龄都是5040的因数，四位学生年龄的全部质因数正好是5040的质因数。我们先把5040分解质因数，再把质因数进行组合成四个连续自然数就行了。

①分解质因数：5040=2⁴×3²×5¹×7¹；

②组合成连续自然数：因为质因数中没有11，所以四个自然数应该比11小，其中应该有7.

则可以组成，5040=7¹×2³×3²×（2¹×5¹）=7×8×9×10；

答：他们的年龄分别是7岁，8岁，9岁，10岁。

模仿练习

有5个孩子，他们的年龄一个比一个小1岁，他们的年龄的乘积是55440.求这5个孩子的年龄各是多少？

【分析与解】根据题意，5个学生年龄乘积是55440，则每个学生年龄都是55440的因数，五位学生年龄的全部质因数正好是55440的质因数。我们先把55440分解质因数，再把质因数进行组合成五个连续自然数就行了。

①分解质因数：55440=2⁴×3²×5¹×7¹×11¹；

②组合成连续自然数：因为质因数中最大是11，而没有13，所以五个自然数应该比13小，其中应该有11和7.

则可以组成，55440=7¹×2³×3²×（2¹×5¹）×11¹=7×8×9×10×11；

答：他们的年龄分别是7岁，8岁，9岁，10岁和11岁。

例3：下面的算式里，囗里数字各不相同，求这四个数字的和。

囗囗×囗囗=1995

思路点拨：要使两个两位数的积是1995.那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=3×5×7×19，可以有35×57=1995和21×95=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取21×95=1995，这四个数字的和是：2+1+9+5=17。

①分解质因数：1995=3¹×5¹×7¹×19¹；

②组合质因数成两位数相乘：1995=（3¹×7¹）×（5¹×19¹）=21×95

                              =（3¹×19¹）×（5¹×7¹）=57×35，数学有重复，排除。

③四个数字的和：2+1+9+5=17.   答：这四个数字的和是17.

模仿练习

如果囗囗×囗囗=2009，那么，这两个两位数的和是       。【2009年成外嘉祥外国语学校择校题】

【分析与解】①分解质因数：2009=7²×41¹；

②组合质因数成两位数相乘：2009=7²×41¹=49×41

③两个数的和：49+41=90.   答：这两个两位数是90.

 

学以致用

1. 把下面各数写成质因数相乘的形式。

（1）255                      （2）360

255==3¹×5¹×17¹；                      360==2³×3²×5¹。

2.小明是个中学生，他说：“这次考试，我的名次乘我的年龄再乘我的考试分数，结果是2910.”你能算出小明的名次、年龄与这次考试的成绩吗？

【分析与解】：根据题意，小明的名次、年龄与分数等3个数的乘积是2910，则这三个数都是2910的因数，且三个数的全部质因数正好组成2910的质因数。我们先把2910分解质因数，再把质因数进行组合成三个符合条件自然数就行了，即小明是个中学生，应该是十五岁左右，名次应该是一位数，分数应该在100以内。

①分解质因数：2910=2¹×3¹×5¹×97¹；

②组合成符合条件自然数：2910=2¹×（3¹×5¹）×97¹

小明的年龄应是3×5=15岁；考试分数应是97分，名次应该是第二名。

答：小明是第二名，今年15岁，这次考试得97分。

3.有两个数，已知其中一个数是另一个数的5倍，这两个数的积为3920，那么，这两个数分别是多少？

【分析与解】：根据题意，其中一个数是另一个数的5倍，它们的积就应该是一倍数的平方再乘5.可以用3920除以5后，再分解质因数，并组成完全平方数。

设较小的数为A，则较大数为5A，得：A×5A=3920

                                      A²=784

                                      A²=2⁴×7²

                                      A²=(2²×7¹) ×(2²×7¹)

                                      A²=28²         另一个数是：28×5=140.

答：这两个数分别是28和140.

4.两个质数的和是39，求这两个质数的积是多少？

【分析与解】：质+质=39，39为奇数，只有奇数+偶数=奇数，所以两个质数，必定有一个质数是偶数。而质数中只有2是偶数。所以这两个质数分别是2和37，它们的乘积：2×37=74。

5.三个自然数的乘积为84，其中两个数的和等于另一个数，这三个数分别是多少？

【分析与解】：①分解质因数:84=2²×3¹×7¹；

②组合成三个数：84=2²×3¹×7¹；且：2²+3¹=7¹

答：这三个数分别是3，4和7.

6. 有三个自然数a,b,c。若已知a×b=10,b×c=35,a×c=14，a×b×c的值是多少？

【分析与解】：根据a×b=10,b×c=35,a×c=14，我们将三个积连乘得：

a×b×b×c×a×c=10×14×35

a²×b²×c²= 2²×5²×7²

a×b×c= 2×5×7

a×b×c= 70    答：a×b×c的值是70.

7.王老师带领一班同学去植树，学生恰好分成4组。如果王老师和学生每人植树一样多，那么，他们一共植了539棵。这个班有多少学生？每人植树多少棵？

【分析与解】：从学生恰好分成4组，我们可知学生人数是4的倍数，王老师和学生一起植树，并且一样多。说明学生人数加1后，是539的因数。可以先分解539的质因数。再看哪一个因数比4的倍数多1，这个因数就是总人数。

①分解质因数：539= 7²×11¹

②观察质因数，组成比4的倍数多1的有49和77，根据539=49×11=7×77。得总人数有二种可能：

一是49人，则学生人数是：49-1=48人，每人植树11棵。

二是77人，则学生人数是：77-1=76人，每人植树7棵。

答：这个班有48名或76名学生，每人植树11棵或7棵。

答：这个班有学生48人或76人，每人植树11棵或7棵。

8. 小明家的电话号码是七位数，它恰好是八个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，小明家的电话是多少？

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