第五讲  浓度问题

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基本概念：将糖溶于水就得到糖水，其中糖叫溶质，水叫溶剂，糖（溶质）与水（溶剂）的混合液(糖水)叫溶液。可见浓度就是溶质与溶剂的比值，通常浓度用百分数表示。

基本数量关系：

溶质重量+溶剂重量=溶液重量     溶质重量÷溶液重量=浓度

溶液重量×浓度=溶质重量     溶质重量÷浓度=溶液重量

基本题型：

稀释问题：加水稀释、加入低浓度溶液稀释。

加浓问题：加入溶质，蒸发溶剂，加入比原溶液浓度高的溶液。

溶液混合问题：抓住混合前后溶质总量、溶液总量均不变。

浓度配比问题：混合前后所需数量比等于浓度差的反比。

基本方法：

抓不变量用算术法解题

抓不变量用方法解题

利用“浓度配比规律”解题

    精典例题

  例1：浓度为30%的糖水100克，若想稀释到20%的浓度，需要加水多少克？

   思路点拨: 在糖水中加水，什么不变？能求出不变量吗？你能想到哪些方法解答这道题？

   方法一：抓不变量：糖的重量为不变量。

①糖的质量：100×30%=30克。

②现有糖水质量：30÷20%=150克。

③加入水：150-100=50克。

方法二：浓度配比规律。

30%的盐水重量：水重量=20%:10%=2:1

水的重量：100÷2×1=50克。

    答：需要加水50克。

 

    模仿练习

 有一容器内装有浓度为20%的盐水300克，要把它变成浓度为40%的盐水，需要加盐多少克？

方法一：抓不变量：水的重量。

①水的质量：300×（1-20%）=240克。

②现有盐水质量：240÷（1-40%）=400克。

③加入盐：400-300=100克。

方法二：浓度配比规律。

20%的盐水重量：盐重量=60%:20%=3:1

水的重量：300÷3×1=100克。

    答：需要加盐100克。

 

 

例2：浓度为40%的糖水与浓度为10%的糖水混合，要配成浓度为30%的糖水600克。40%与10%的糖水各需要多少克？

思路点拨  将40%糖水与10%的糖水混合配成30%的糖水，说明混合前后两种糖水中的糖的总量是不变的，由此可用方程解答，当然我们也可以用“浓度配比规律”解题。

方法一：方程解。混合液中含糖：600×30%=180克。

解：设浓度为40%的糖水有x克。根据两种糖中共有糖180克，可列方程得：

40%x+(600-x) ×10%=180

40%x+60-10%x=180

30%x+60=180

30%x=120

x=400          

浓度为10%的糖水有：600-400=200克。

方法二：浓度配比规律

40%糖水与10%糖水的重量比：20%：10%=2：1

40%的糖水有：600÷（2+1）×2=400克。

10%的糖水有：600÷（2+1）×1=200克。

答：40%与10%的糖水各需要400克和200克。

    模仿练习

两种钢分别含镍5%和40%，要得到70吨含镍30%的钢，每一种各需要多少吨？

5%钢与40%钢的重量比：10%：25%=2：5

5%的钢有：70÷（2+5）×2=20克。

40%的糖水有：70÷（2+5）×5=50克。

答：每种钢各需要20克和50克。

 

  

例3：甲种酒精的纯酒精含量为72%，乙种酒精的纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%。如果每种酒精取的数量比第一次多15升，那么第二次混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取多少升？（2005年小学奥赛决赛题）

思路点拨:  两次运用“数量比等于浓度差的反比”的规律，然后抓住都多用15升差不变即可求解。

①第一次甲与乙重量比：4%：10%=2：5； ②第二次甲与乙重量比：5.25%：8.75%=3：5；

③甲乙两次的差一定：2：5=4：10，3：5=9：15    甲原有：15÷（9-4）×4=12升。

乙原有：15÷（15-10）×10=30升。

甲       乙       差

①  2    ：  5        3

    4    ：  10       6

②  3    ：  5        2

9    ：  15       6 

方法二：解：甲溶液取x升，则乙溶液取 升。根据第二次的比是3：5，可列方程得:

 (x+15): ( +15)=3:5

X=12          答：第一次混合时，甲取12升，乙取30升。

模仿练习

甲瓶中酒精浓度为70%，乙瓶中酒精的浓度为60%，两瓶酒精混合后的浓度为66%。如果两瓶酒精各用去5升后，则混合后的浓度为66.25%。原来甲、乙两瓶酒精分别是多少升？（2000年浙江省小学数学夏令营试题）

 

①第一次甲与乙重量比：6%：4%=3：2； ②第二次甲与乙重量比：6.25%：3.75%=5：3；

③甲乙两次的差一定： 甲原有：5÷（6-5）×6=30升。

乙原有：5÷（4-3）×4=20升。

甲       乙       差

①  3    ：  2        1

    6    ：  4        2

②  5    ：  3        2

方法二：解：甲溶液取x升，则乙溶液取 升。根据第二次的比是5：3，可列方程得:

 (x-5): ( -5)=5:3

X=30          答：原来甲取30升，乙取20升。

学以致用

A级

1.有一桶浓度为15%的盐水，若再加入30千克的水，盐水的浓度变为5%。原有15%的盐水多少千克？

【分析与解】解：设原有盐水x克。根据浓度变化列方程得：

15%x÷(x+30)=5%

0.15x=0.05x+1.5

0.1x=1.5

X=15              答：原有15%的盐水15千克。

配比法：质量比：（5%-0）：（15%-5%）=1：2

原有盐水：30÷2×1=15千克。

2. 一容器中有含盐量10%的盐水，加入100克食盐溶解后，盐水的浓度增加到20%，容器中原有多少克盐水？

【分析与解】解：设原有盐水x克。根据浓度变化列方程得：

(10%x+100)÷(x+100)=20%

10%x+100=20%x+20

0.1x=80

X=800

配比法：质量比：（100%-20%）：（20%-10%）=8：1

原有盐水：100÷1×8=800克。              答：原有盐水800克。

 

 

3. 某厂要配制浓度为10%的硫酸溶液2940千克。需要浓度为98%的浓硫酸和蒸馏水各多少千克？

【分析与解】①浓硫酸和蒸馏水的比是（10%-0）：（98%-10%）=5：44；

②需要浓硫酸：2940÷（5+44）×5=300千克；

③需要蒸馏水：2940-300=2640千克。

答：需要浓度为98%的浓硫酸和蒸馏水各有300千克和2640千克。

4.有浓度为2.5%的盐水700克，为了制成浓度为3.5%的盐水，从中要蒸发掉多少克水？

【分析与解】抓不变量，盐的质量不变。

①盐的重量：700×2.5%=17.5克；

②现在盐水重量：17.5÷3.5%=500克。

③是蒸发掉的水：700-500=200克。    答：要蒸发掉２００克水。

B级

5.两个杯子分别装有浓度为40%与10%的食盐水，倒在一起混合后的食盐水浓度为30%。若再加入300克20%的食盐水，则浓度变为25%。原来40%的食盐水有多少克？

【分析与解】①原两杯水的重量比是：（30%-10%）：（40%-30%）=2：1；

②第一次混合液与第二次加入300克盐水的重量比是（25%-20%）：（30%-25%）=1：1；

③第一次混合液重量：300÷1×1=300克；

④原有40%的盐水重量：300÷（1+2）×2=200克；

答：原来40%的食盐水有200克。

6.浓度为20%、18%、16%的三种盐水混合后得到100克18.8%的盐水。结果18%的盐水比16%的盐水多30克，每种盐水各有多少千克？

【分析与解】因为是三种盐水的混合，我们可以根据盐的变化，列方程求解。

解：设16%的盐水x克，则18%的盐水有（x+30）克，则20%的盐水有【100-x-(x+30)】=70-2x克。

（70-2x）×20%_­­+(x+30) ×18%_­­+16%x=100×18.8%_­­

         14-0.4x+0.18x+5.4+0.16x=18.8

                      19.4-0.06x=18.8

                           0.06x=0.6

                               X=10      18%的盐水有：10+30=40克

20%的盐水有：100-10-40=50克。

答：20%的盐水有50克，18%的盐水有40克，16%的盐水有10克。

7.甲容器中有浓度为8%的食盐水300克，乙容器中有12.5%的食盐水120克，往甲、乙两个容器分别倒入等量的水，使两个容器的食盐水浓度相等。需要倒入多少克水？

【分析与解】我们可以根据两种混合盐水后来浓度相等，列方程求解。

解：设分别倒入水x克。

（300×8%）÷（300+x）=（120×12.5%）÷（120+x）

         24÷（300+x）=15÷（120+x）

             2880+24x=4500+15x

                   9x=1620

                    X=180    

答：需要倒入180克水。

C级

8.A、B、C三个试管各盛有10克、20克、30克水。把某种浓度的盐水10克倒入A中，混合后从A中取出10克倒入B中，混合后从B中取出10克倒入C中，现在C中盐水浓度是0.5%，最早倒入A中的盐水浓度是多少？

【分析与解】10克盐水倒入10克水中，盐不变，总重量扩大两倍，浓度降低到原来的一半；同理从A中取出的10克盐水倒入B中，盐不变，总重量扩大三倍，浓度降低到原来的三分之一；同理，从B中取出的10克盐水倒入C中，盐不变，总重量扩大四倍，浓度降低到原来的四分之一；最后的浓度为0.5%。可以用倒推法求出最初的盐水浓度。

 

最初倒入A中的盐水浓度是： 0.5%×4×3×2=12%

答：最初倒入A中的盐水浓度是12%。

9.甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升。第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合；第二次将乙容器中的一部分混合倒入甲容器。这时甲容器的纯酒精含量为62.5%，乙容器中的纯酒精含量是25%。第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是多少升？

【分析与解】甲、乙的变化都有两次，而倒入乙中的是纯酒精，倒入甲的是酒精与水的混合液体。倒出液体对浓度没有影响，乙最后的浓度为25%，说明甲倒入乙后，酒精的浓度就是25%。这样我们可以得出甲第一次倒入乙的纯酒精。

甲倒入乙后，乙有酒精溶液：15÷（1-25%）=20升，则甲倒入乙有：20-15=5升。

说明甲倒出5升给乙，还剩下11-5=6升纯酒精。

乙倒给甲是倒入25%的酒精溶液给甲，与甲的9升纯酒精混合后，浓度为62.5%。

甲的酒精与倒入的溶液的比是（62.5%-25%）：（100%-62.5%）=1：1

那么，第二次从乙倒入甲的混合液有：6÷1×1=6升。

答：第二次从乙容器中倒入甲容器的混合液是6升。