廖凡老师讲数学

第一章    小学算术

小学算术由两部分知识组成：一是加减乘除四则运算，二是三种关系。

1、三种关系：

1.1整体量＝各部分量的和这是数学中最基本的关系，这一关系从小学数学到大学数学都是最重要的，小学老师们如果能从小学一年级开始就培养学生这一意识，那么他们将来的数学一定不会差。“整体量＝各部分量的和”的变式是“部分量＝整体量减去其他部分量”

1.2整体量＝一份量×份数“整体量＝一份量×份数”是“整体量＝各部分量的和”当各部分都相等时的特例，这是归一问题的本质关系，在学习了乘法运算后就要有意培学生的这种意识。  “整体量＝一份量×份数”有两种变形，“一份量＝整体量÷份数”, “份数＝整体量÷一份量”。正是因为许多学生就是没有真正体会到这一关系，没有对这一关系变成自已意识中的一部分，才使他们怕做应用题，才使他们对数学失去了兴趣的。虽然到了高年级大多数学生能够解相应的问题，但是能从本质上理解的学生不多，因此必然要影响到初中高中剩至大学的学习，数学老师们千万要加强这个意识的培养！

1．3部分量＝整体量×分率这个关系是学习了分数的乘除法以后才开始体悟，他是解决增长率问题，利率问题的基础。“部分量＝整体量×分率”的另两种形式是“分率=部分量/整体量”，“整体量=部分量/分率”。可以这样说如果小学数学老师能够真正体会到上述三种关系的重要性，那么一定可以把小学数学教得很棒。你的学生也一定能在将来的数学学习胜人一筹。事实上中学数学老师甚至大学数学老师能够体悟到这三大关系的重要性也是教好数学的关键。

2、自然数的四则运算　　

2.1自然数的加法　　（1）1位数的加法　　不满10的加法，用手指感觉，并加以记忆。　　等于10的加法，用手指感觉，把通过十个手指，分成部分，所得到的两个数的和为10，并加以记忆。　　超过10的加法，凑10法学习，并加以记忆.　　（2）100以内的加法　　先学习10个10个地数，形成对20，30，40，50，60，70，80，90，十十（即100）的认识，再学习等于20的加法，进而学习超20的加法，最后完成所有100以内的加法学习。　　（3）1000以内，10000以内的加法的学习与100以内的加法的教学方法类似。

2.2、自然数的乘法　　（1）多个相同的一位数相加　　（2）给出乘法的名称与符号　　（3）利用加法求两个一位数相乘的积　　（4）研究相邻乘积的关系如3×4与3×5之间的关系　　（5）整理出乘法口决表　　（6）背诵乘法口决表　　（7）感受乘法交换律　　（8）两位数与一位数的乘法过渡竖式　　引例1、3×2=13+13=26=3×2+10×2　　引例2、42×3=2×3+40×3=6+120　　可以把上面的式子列成竖式　　 42　　× 3　　———　　 6　　 +120　　———　　 126　　引例3、45×3=5×3+40×3=15+120=135　　 45　　× 3　　———　　 15　　 + 120　　———　　 135　　例1`、利用竖式进行计　　41×3 56×4　　（9）两位数与一位数的乘法简化竖式　　（10）学习两位数乘两位数乘法

2.3自然数的减法　　（1）一位数的减法　　引例、6粒糖，吃掉2粒，还剩几粒？　　用实物感觉，吃一粒拿掉一粒。　　给出减法的名称及符号，练习　（2）、10减去一位数　　用手指感觉，并加以记忆。　（3）、11到19的数减去一位数　　个位够减减个位、个位不够减用10减，　　12-5＝10-5+2＝7　（4）、20到99的数减去一位数　　个位够减减个位、个位不够减用10减，　　32-5＝10-5+22＝5+22＝27　　76-9＝10-9+66＝1+66＝67　　简化算式　　76-9＝66+1＝67　　练习多题后再简化算式　　76-9＝67　（5）了解加法与减法的关系　　观察2+3＝5，5-2＝3　　3+7＝10，10-3＝7　　归纳出加减法的关系2.4自然数的除法　　（1）引例1、10粒糖，每天吃2粒，能吃几天？　　引例2、12个田螺，每次拿掉3个要拿几次就没有了？　　给出除法的名称与符号　　练习8÷2= 15÷5= 15÷3=　　（2）除法与乘法的关系　　引例1、8÷2= ？　　8个糖2个2个拿，拿4次就没有了　　所以8÷2=4　　换一句话说2个2个拿，拿4次就是8　　2个2个拿，拿4次也是2×4＝8　　引例2、15÷5=？　　因为5个5个拿，拿3次就是15个（也就是5×3＝15）　　所以15÷5=3　　可见要求出15÷5=？　　只要看5×？＝15　　只要对照乘法口决表就能得到结果了　　（3）利用乘法口决表进行除法运算　　（4）利用乘竖式进行除法运算　　引例1、55÷5＝？　　本题不能用乘法口决表进行运算，怎么办呢？　　只好5个5个数，要数几次呢？数10次是50，数11次就是55　　所以55÷5＝11　　引例2、69÷3＝？　　只好3个3个数，数20次是60，再数3次就是69　　所以69÷3＝23　　这一过程相当于先把69，3个3个数，数20次“数”掉了60个，还剩9个，再数3次，就没有了。　　为了方便可以列成竖式如下：　　 23——　　 69　　- 60　　————　　  9　　 - 9　　______　　  0（对不起，传上去会乱掉）（5）、带余除法①引例1、48÷5＝？用除法的意义，5个5个数，数9次去掉45个，还余下3个记作48÷5＝9……3这种除法叫做带余除法②直接写出下列带余除法的结果48÷7＝？26÷4＝？32÷9＝？③利用竖式写出带余除法的结果94÷7＝？83÷4＝？123÷5＝？435÷23＝？3、数的扩充3.1自然数的计数方法(1)个位与十位引例：在34中4所在的位置叫做个位，3所在的位置叫做十位。4叫个位数字，3叫十位数字例、在54中5所在的位置叫什么？4所在的位置叫什么？十位数字是什么？个位置叫什么？(2)个位数字与十位数字的意义引例：在34中，十位数字3表示3个10即30，个位数字4表示4个1例1、在54中，十位数字是什么？个位置叫什么？分表示什么？例2、6个10，5个1组成的数是什么？(3)十位叫做个位的上位(4)百位例1、6个100，5个10组成，3个1的数可以记作6536所在的位置叫百位，百位数字是6。同样的方法可以学习千位、万位、十万位、百万位、千万位、亿位。例2、67593读作什么？说出每一位上的数字分分表示什么？(5)十进制引例1：数数从1数到100引例2：在数数时35后一个是什么？9后一个是什么？19后一个是什么？29后一个是什么？从中感觉到数满10进一的道理。10个一是十10个十是百10个百是千10个千是万3．2平均数引例、10粒糖，分成5份，每份一样多，可已分成几份？容易知道每份是2粒就是10÷ 5的结果（商）10粒糖，分成5份，每份一样多可以简单地说成：把10粒糖份平均分成5份。例1、20粒糖，分成5份，每份一样多可以简单地说成：把20粒糖平均分成5份。每份是20÷5=4（粒）例2、把30粒糖平均分成10份。的意思就是：20粒糖，分成10份，每份一样多。每份是30÷10=3（粒）例3、把35平均分成7份，一份是多少？35÷7=53.3小数(1)0.11平均分成10份，其中一份记着0。1，也就是1÷10=0。12个0。1记着0。2，3个0。1记着0。3，……10个0.1就是1例、0.4有几个0.1？1有几个0，1？，2有几个0.1？例2、1平均分成5份，一份是多少？由于1有10个0.1，所以分成5份，一份是2个0.1＝0.2也就是：1÷5＝0.2例3、2÷5是什么意思？结果是多少？练习：1÷2    3÷5（2）竖式计算例1、3÷5＝？由于3有30个0.1，所以分成5份，一份是6个0.1＝0.6也就是：3÷5＝0.6这一过程可以用竖式表示（不好打略）例2、用竖式计算   32÷5 （3）不完全商与完全商带余除法32÷5＝6……2完全除法32÷5＝6.46叫做32÷5的不完全商，6.4叫做32÷5的完全商练习带余除法42÷5＝？完全除法42÷5＝？并说出不完全商与完全商(3)0.010.1平均分成10份，其中一份记着0。01，也就是0.1÷10=0。012个0。01记着0。02，3个0。01记着0。03，……10个0.01就是0.1例1、0.1÷5＝？由于0.1有10个0.01，所以分成5份，一份是2个0.01＝0.02也就是：0.1÷5＝0.02例2、0.3÷5＝？由于0.3有30个0.01，所以分成5份，一份是6个0.01＝0.06也就是：0.3÷5＝0.06这一过程可以用竖式表示（不好打略）例2、用竖式计算   3.2÷5     2.1÷2同样的方法可以认识0.001、0.0001(3)小数的组成例1、0.23表示2个0.1，3个0.014.73表示4个1、7个0.1，3个0.01例2、9个1、3个0.1，4个0.01可以写作9.34，读作9点34例3、9.34中，3所在的数位叫做十分位，4所在的数位叫做百分位。3是十分位的数字，4是百分位的数字，这里的3表示3个0.1即0.3，这里的4表示4个0.01即0.04.百分位的后一位是千分位，千分位之后为万分位……(4)小数的四则运算（略）3.4分数(1) 分数的认识1平均分成10份，其中一份可以记着0。1，也可以记作 读着10分之11平均分成7份，也可以记作 读着7分之12个 记着，3个 记着 ，……，7个 就是1例1、 表示什么意思？ 表示什么意思？例2、 表示什么意思？ 表示什么意思？象这样的数叫做分数，13叫分母，5叫分子，小横线叫分数线例3、说出的分子与分母，并指出它们是小于1，等于1，还是大于1， ，（2）分数的约分（略）（3）分数的四则运算（略）

3．3部分量＝整体量×分率
　　这个关系是学习了分数的乘除法以后才开始体悟，他是解决增长率问题，利率问题的基础。“部分量＝整体量×分率”的另两种形式是“分率=部分量/整体量”，“整体量=部分量/分率”。
　　可以这样说如果小学数学老师能够真正体会到上述三种关系的重要性，那么一定可以把小学数学教得很棒。你的学生也一定能在将来的数学学习胜人一筹。事实上中学数学老师甚至大学数学老师能够体悟到这三大关系的重要性也是教好数学的关键。
　　从具体的、形象的、身边的东西为对象进行数学教学在哪个年级都是实用的，只要你对你所教的数学知识有一个整体的把握怎么教都行，比如上面我提到的小学数学的三种关系就是小学数数的灵魂一定要把握好。
　　例1、左手抓3粒糖，右手抓6粒糖，两手共抓几粒糖？
　　例2、两手共抓几13粒糖，知道了左手抓5粒糖，问右手抓几粒糖？
　　例3、平均1分钟吃4粒瓜子，则5分钟吃几粒？
　　例4、3分钟吃15粒瓜子，平均1分钟吃几粒瓜子？
　　例5、3分钟吃15粒瓜子，问5分钟能吃几粒瓜子？
　　例6、小明3分钟吃15粒瓜子，有一堆瓜子，小明吃5分钟后还剩下20粒。问这堆瓜子原来有几粒？
　　例7、小明3分钟能吃15粒瓜子，小红5分钟能吃20粒瓜子，一堆瓜子，小明与小同时吃了4分钟恰好吃完，问这堆瓜子原来有几粒？
　　例8、小明3分钟能吃15粒瓜子，小红5分钟能吃20粒瓜子，一堆瓜子，小明与小同时吃了4分钟恰好吃完，剩下的部分小明还吃了2分钟，问这堆瓜子原来有几粒？
　　例9、一堆瓜子共60粒，小明先吃掉其中的1/3，接着小红吃掉剩下的1/5，最后还剩几粒？
　　例10、一堆瓜子共60粒，小明5分钟先吃掉其中的1/3，接着小红4分钟吃掉剩下的1/5，最后还剩下瓜子的由两人同时吃还要几分钟能吃完？
　　例11、一堆瓜子，小明5分钟先吃掉其中的1/3，接着小红4分钟吃掉剩下的1/5，最后还剩下32粒瓜子，问(1) 这堆瓜子原来有几粒？(2) 小明与小红共同吃3分钟能吃几粒瓜子？
　　用这此学生最常见并且常吃的东西出应用题学生是容易理解的。

学会了吃糖吃瓜子就可以学会算术了，哪个年级都可以用吃糖吃瓜子出题，古老“鸡兔同笼”问题是小数数学中及好的问题从低年级到高年级可以如下出题：
例1、一个笼子里有鸡4头，兔5头，鸡与兔共有与几条腿？（小学一年级）
例2、鸡和兔在一个笼子内，笼内有兔4头，鸡与兔共有20条腿，问鸡有几头？（小学一年级）
例3、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔共有10头，其中鸡腿12条，求鸡和兔分别有几头？（小学二年级）
例4、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔共有头3个，腿10条，求鸡和兔分别有几头？（小学二年级，可罗列的方法，直到找出正确的答案）
例4、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔子共有头10个，腿26条，求鸡和兔分别有几头？
（小学三年级）
解1、先用可罗列的方法，直到找出正确的答案。
解2、设笼子内是10头鸡，则只有20条腿，于是要把一些鸡换成兔子，变成9头鸡，1头兔，则有22条腿，变成8头鸡，2头兔，则有24条腿，变成7头鸡，3头兔，则有26条腿，就找出正确的答案了。
解3、在解2的基础上进行概括，一头换一头兔多出2条腿，我们知道26条腿比20条腿多6条腿，因此要把6÷2＝3头鸡换成3头兔子。本题也可先假设笼子内是10只兔子。
解4、让每头鸡去掉1条腿，每头兔去掉2条腿，则26条腿就只剩下了26÷2＝13条腿了，
再让这10头鸡兔每头都去掉1条腿，只剩下了13-10＝3条腿了，这恰好是3头兔子的腿，因此有3头兔子，7头鸡
练习、鸡和兔在一个笼子内，鸡和兔共有头100个，腿280只，求鸡和兔分别有几头？

四、羊吃草问题：
例1、有一草地，假设每天都生长一样多的草，每只羊每天吃一样多的草。这片草地可供１０只羊吃9０天，或者可以供2０只羊吃3０天．那么35只羊可以吃多少天？
解：设一只羊1天1份草
　　则１０只羊吃9０天吃900份草
　　2０只羊吃3０天吃600份草
　　900份草减去600份草＝300份草，就是60天草地自然长出的草，
　　由此可知，1天草地长出5份草，3０天长草150份，原来草地有450份草。1天草地长出5份草，恰好够5头吃。而原来草地有450份草够30头羊吃15天。　　
答：35只羊可以吃15天.
例2、工厂的质量检验车间积压着部分产品待检,与此同时,流水线传送带按一定速度送来待检验产品,如果打开一部质检机,需半个小时可使待检产品全部通过质量检验,同时打开两部质检机,只需10分钟便可将待检产品全部通过质量检验.现因生产需要,在5分钟内将待检产品全部通过质量检验,此时最少要打开几部质检机?
　　解：设一部质检机1分钟检验1份产品
　　则半个小时可使检验30份产品
　　两部质检机,只需10分钟可使检验20份产品
　　相减得：10份产品，这是20分钟流水线传送带送来的新产品
　　所以，传送带1分钟送来新产品0.5份，积压着部分产品有30-0.5×30＝15（份）
　　5分钟之内要检验15+0.5×5＝17.5
　　因此要用质检机17.5÷5＝3.5（部）
　　答：至少要4部
五、容斥问题：
例1、在若干名歌舞演员中,有7人会唱歌,有6人会跳舞，有3人既会唱歌又跳舞，歌舞演员共有多少名
　　解答：7+6＝13，但是3个既会唱歌又跳舞，被算了两次，因此
　　歌舞演员有13-3＝10（人）
　　
例2、 求不超过30的正整数中是2的倍数或3的倍数的数共有多少个。
　　解：求不超过30的正整数中
　　2的倍数有2、4、6、…、30共15个
　　3的倍数有3、6、9、…、30共10个
　　既是2的倍数又3的倍数的（即6的倍数）有6、12、…、30共5个
　　因此答案是15+10-5＝20（个）
　　小结：
　　（1）一个群体由两部分组成，第一部分有a个元素，第二部分有b个元素，第一部分与第二部分的公共部分有c个元素，那么这群体共有
　　有a+b-c个元素
　　（2），第一部分有a个元素，第二部分有b个元素，第三部分有c个元素，第一部分与第二部分的公共部分有d个元素，第一部分与第三部分的公共部分有e个元素，第二部分与第三部分的公共部分有f个元素，三部分的公共部分有g个元素，那么这群体共有有a+b+c-d-e-f+g个元素
　　上面的结论叫做容斥原理，有兴趣的老师与家长可以思考一个群体由4部分组成、5部分组成、……、n部分组成的容斥原理
　　练习
1、某班统计考试成绩，数学得90分上的有25人；语文得90分以上的有21人；两科中至少有一科在90以上的有38人。问两科都在90分以上的有多少人？
2 、某校组织棋类比赛，分成围棋、中国象棋和国际象棋三个组进行。参加围棋比赛的共有42人，参加中国象棋比赛的共有51人，参加国际象棋比赛的共有30人。同时参加了围棋和中国象棋比赛的共有13人，同时参加了围棋和国际象棋比赛的7人，同时参加了中国象棋和国际象棋比赛的11人，其中三种棋赛都参加的3人。问参加棋类比赛的共有多少人？
3、求1到200的自然数中不能被2、3、5中任何一个数整除的数有多少？
六、数数问题
　　例1、（数花生）有一堆花生，3个3个数剩1个，5个5个数剩2个，7个7个数剩2个，问这一堆花生有几个？
　　解：第1步：从2个开始，2+7＝9，7个7个数剩2个，3个3个数剩0个，
　　第2步：9+7＝16，7个7个数剩2个，3个3个数剩1个。
　　第3步：16+3×7＝37，7个7个数剩2个，3个3个数剩1个，5个5个数剩2个
　　
　　因此所求的数是37
　　当然37+3×5×7＝37+105＝142也行
　　142+105＝247……都行
　　37符合要求的最小的自然数
　　（注意，如果37，用5个5个数不是剩2个，就把37再上21，直到符合条件为止）
练习：（韩信点兵）有一队士兵，3个1列剩1个，5个一列剩1个，7个一列剩2个，问这一一队士兵有几个人？

第二章、初中代数 1、有理数 1.1负数的认识（1）表示相反意义的量例1、用最简单的形式表示下列各个量 ①某人走了5千米 ②今天张三的体温是摄氏38度解：① 5千米 ②38°C 注：一个量由计量的数和计量单位两部分组成例2、用最简单的形式表示下列各个量 ①向东走了5千米、向东走了5千米 ②摄氏零上5度、摄氏零下5度解：① 东5千米、 西5千米若都写成5千米就没法区别这两个量的不同意义 ②零上5°C、零下5°C 若都写成5°C就没法区别这两个量的不同意义可以看到仅用计量数5与计量单位是无没表示出，象例2中这样的具有相反意义的量的，我们只好在计量数前面冠以东、西、零上、零下这样的字眼，这种计量方法确实有点麻烦。具有相反意义的量是一种很普遍的现象，如盈利1000元与亏本1000元，进步30名与退步30名等等。因此数学家把一种意义用“+”号表示，与它相反的意义用：“-”号表示这样例2的答案就是：① +5千米、 +5千米 ②+5°C、-5°C 至于哪一个意义规定为正数学上并无特别的要求。习惯上，我们把具有正面的、向上的意义用“+”号表示，具有反面的、向下的意义用“-”号表示。例3、用最简单的形式表示下列各个量如盈利1000元与亏本1000元讲解：规定“盈利”这一意义用“+”号表示，则“亏本”就用“-”号表示因此，盈利1000元记为+1000元亏本1000元记为-1000元（2）正数与负数在例3中，两个量的计量数分别就是+1000和-1000 以后我们把+1000叫做正数它与我们原来所说的1000是相同的， -1000叫做负数它与我们原来所说的1000是相反的。再如+5是正数与我们原来所说的5是相同的， -5是负数它与我们原来所说的5是相反的。（3）相反数象+5与-5，+1000与-1000这样只有符号不同的数叫做互为相反数，一个数叫做另一个数的相反数，规定0的相反数还是0 例4、写出下列各数的相反数 +5.3，-34，-3/7，0 注意：+0与-0都与0相同 1．2数轴为了能够直观地感受到一个数的大小，我们来学习用数轴上的点表示数。 [引例]观察尺子上的刻度，可以看到每个小刻线（刻点）上都有一个数，在刻度范围内的每个数，都可在尺子上找到一个小刻线（刻点），这是多么神奇的创意。尺子不但可以用来度量东西的长短，还能让我们感受到不同的数的大小关系，右边刻点表示的数大于左边的点表示的数。注意到尺子并不能表示超出刻度范围的数，比如大于最大刻度的数在尺子上就找不出刻点，负数不能在尺子上找到刻点，我们能不能设计一个尺子，用来表示所有的数呢？为了表示很大很大的正数尺子向右方得很长很长，为了能表示正数的相反数负数，尺子向左边也得很长很长，还得有个界定左右标记，这个标记用表示零。我们把这把“尺子”叫做数轴，这把“尺子”的“形象”就是一条直线。 (1)数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。 (2)零原点表示，正数用数轴上正方向（习惯上是右方向）上的点表示，负数用数轴上负方向上的点表示。 (3)数轴上给定一点写出该点表示的数：先看该点到原点的距离，再看方向符号。即：“点数距离添符号”这可是学习数学的一个很好用的口决。 (4)数对应点点对应数，右边数大于左边数。正大于零负数小于零，因此 a是正数可记作a>0，a是负数可记作a<0, (5)绝对值：数对应点点对应数，点到原点的距离就叫做数的绝对值。如+5的绝对值等于5与+5相同，+5的绝对值记作|+5|，|+5|＝5 -5的绝对值也等于5与-5相反，-5的绝对值记作|-5|，|-5|＝5 当a>0时|a|=a，当a＝0时|a|=0，当a<0时|a|=-a 1．3有理数（1）正整数，负整数，自然数，整数：1，2，3，4，……这些数叫做正整数，正整数的相反数叫做负整数，和零统称为自然数，正整数、负整数和零统称为整数。（2）正分数与负分数：象1/3，7/2，……这样的数叫做正分数，正分数的相反数叫做负分数，正分数与负分数统称为分数。（3）有理数：整数与分数统称有理数，有理数也可以分成正有理数、负有理数、和零 1．4有理数的加法与减法 (1)两个正数相加例如（+5）+（+3）＝？解释1：由于+5与5相同，+3与3相同。因此（+5）+（+3）＝5+3＝8 解释2：+5用来表示盈利5元，+3用来表示盈利3元，合起来当就是盈利（5+3）元即：（+5）+（+3）＝+（5+3）＝+8 (2)两个负数相加例如（-5）+（-3）＝？解释：-5用来表示亏本5元，-3用来表示亏本3元，合起来当就是亏本（5+3）元即：（-5）+（-3）＝-（5+3）＝-8 练习：计算（+6）+（+7），（-15）+（-3）尽量多做几题 (3)一正一负相加（+5）+（-3）＝？解释：+5用来表示盈利5元，-3用来表示亏本3元，合起来当就是盈利（5-3）元（-5）+（+3）＝？解释：-5用来表示亏本5元，+3用来表示亏本3元，合起来当就是亏本（5-3）元一次盈利一次亏本，盈利比亏本大合起来就盈利，亏本比盈利大合起来就亏本。练习：计算（+6）+（-9），（+15）+（-3）尽量多做几题（4）与零相加如（+6）+0＝+6，（-6）+0＝-6 （5）小结：同号两个数相加，取加数的符号绝对值相加；异号两个数相加，取绝对值效大的符号，大绝对值减小绝对值；一个数与零相加就等于这个数。注意：这里一定要先做练习，后小结法则，要不然会制造更多的差生，切记。 (6)加法交换律与结合律（略） (7)两个以上的有理数相加练习（略） (8)有理数的减法（略） (9)符号的减化练习（略）这里的教学有一定的难度，原因是一此老师省“两个以上的有理数相相加练习”给省去了，这是千万省不得的。 1．5有理数的乘法与除法 (1)两个正数相乘例如（+5）×（+3）＝？解释1：由于+5与5相同，+3与3相同。因此（+5）×（+3）＝5×3＝15 解释2：让+5表示每小时向东走5里，让+3表示3小时后，乘起来表示3小时后＝向东（5×3）里即：（+5）×（+3）＝+（5×3）＝+15 可见两个正数相乘积是正数 (2) 一正一负相乘例如（-5）×（+3）＝？解释1：由于+3就是3，因此（-5）×（+3）＝（-5）×3，表示3个-5相加等于-15＝-（5×3），即：（-5）×（+3）＝-（5×3）解释2：让-5表示每小时向西走5里，让+3用来表示3小时后，乘起来表示3小时后＝向西（5×3）里即：（-5）×（+3）＝-（5×3）＝-15 可见一正一负相乘积是负数练习：计算（-6）×（+7），（+15）×（-3），（+6）×（+7）尽量多做几题 (3)两个负数相乘（-5）×（-3）＝？解释：让-5表示每小时向西走5里，让-3用来表示3小时前，乘起来表示3小时前＝向东（5×3）里即：（-5）×（-3）＝+（5×3）＝+15 一正一负相乘积是正数练习：计算（-6）×（-9），（-15）×（-3）尽量多做几题（4）与零相乘如（+6）×0＝0，（-6）×0＝0 （5）小结：两数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘一个数与零相乘就等于零。注意：小结法则可以连在一起练习 (6)乘法交换律与结合律（略） (7)两个以上的有理数相乘练习（略）几个不为零的数相乘，偶数负因素个为积正，奇数个负因素积负，再把绝对值相乘几个数相乘，有一个因数为0积为0. (8)分配律：注意倒用分配律的应用 (9)有理数的除法（略） (10)四则运算综合练习（略） (11) 有理数的乘方 ①引入：4个5相加即：5+5+5+5可以写记作5×4 7个8相加即：8+8+8+8+8+8+8可以就是8×7 几个相同的数相加就是乘法运算，8×7就是7个8相加的简单表示法。 ②4个5相相乘，5×5×5×5可简单地表示为54 10个2相乘，2×2×2×2×2×2×2×2×2×2可简单地表示为210 问：2×2×2×2可简单地表示为什么？问：23是什么意思？等于多少？ 34是什么意思？等于多少？ ③34读作3的4次方，3叫底数，4叫指数，结果叫幂，34也可读作3的4次幂问：在式子23＝8中，底数是？指数是？幂是？问： 25＝？底数是？指数是？幂是？练习：计算43，(-4)3，32，(-3)2，(1/2)3， (-1/2)3 ④注意：底数为负数，底数为分数时，要将底数括号起来。式子-32是32的相反数与(-3)2不同，(-3)2＝9，-32＝-9 规定51＝5，41＝4 ⑥一般地，我们把n个a相乘，记作an，读作3的4次方，a叫底数，n叫指数，结果叫幂，an也可读作a的n次幂。千万不能太早给出一般定义，对初中的学生，往往要把一般性的定义或法则当成概括小结是有好处的，别理那些脱离实际的所谓的“专家”的那一套地，只会把简单的教复杂，把聪明的学生变成傻瓜。我们要让学生自然而然地学会任何知识。有时间再写