数学归纳法为何会如此的神奇、正确？一种什么样的东西在保证着它的正确性？
下面，就来粗浅地说一下其正确性的保障是什么。
数学归纳法，从base条件开始递推，得出base+1正确，而后又可得出base+2正确……如此递推下去（满足循环不变式），可至n的情况。表面看上去就是正确的。可是，没有数学公理化的证明，不能空口说白话吧！如同哥德巴赫猜想，人们已经在大范围内穷举过了，无一反例，但谁能保证它的必定正确性？因而才需要证明。

好了，现在开始证明了。用什么方法呢？每当我想不出来用什么方法证明的时候，我都会用反证法。
肯定是不能够假设base条件错误的，那就假设当n=k时，数学归纳法无法保证正确性。但这个条件是由n=k-1递推至的，即意味着n=k-1也无法保证。。。最终这个集合由1-------n构成，但是base条件是正确的，因而可以推至base+1的正确。这里出现了矛盾，与题意不相符，故假设错误。
从而得出数学归纳法的正确性。


1.用数学归纳法证明：k=2^n的正方形挖去了一个单位正方形时，可用一L型构件来填充。
proof:
当n等于1时，k=2, 则http://s6/mw690/62e4e31a4e0f477e270d5&690显然可以被一个L型构件填充。

当n=m时，假设有k=2^m的正方形可以被L型构件填充。
当n=m+1时，正方形k=2^(m+1)，则现在这个正方形面积为2^(m+1) * 2^(m+1) = 4 * 2^m * 2^m，显然可以看成4个边长为2^m的正方形的组合。同时又有挖去的单位正方形只能存在于这4个正方形中，由数学归纳法可以得到，当k=2^m时可以被L型构件填充。因而得证。


2.用数学归纳法证明：n为大于12且不被3整除的偶数， 当挖去一个单位正方形时，仍可用一L型构件来填充完。
proof:
满足n大于12且不被3整除的数的性质为n=6k+2或6k+4。
当n=14时，

http://s8/bmiddle/62e4e31a4e0ef89531f57&690

,如图所示，可以用L型构件来填充。
当n=16=2^4时，前例（1）已经证明。

当n=m时，m为大于12且不被3整除的偶数。假设这个正方形也可以被L型构件填充。
若n=m=6k+2列，则
当n=m+6时，n*n = m^2+2*6*m+6^2。
将这个正方形分成4部分，分别为m*m, 6*m, m*6, 6*6。因为在假设中已经在m*m中挖去1单位正方形后可用L型构件来填充，故可增加边框（即6*m, m*6, 6*6）来构造正方形。此时，正方形挖去1单位正方形后仍可用L型构件来填充 成立。

若n=m=6k+4列，则
当n=m+6时，n*n = m^2+2*6*m+6^2。同上。

综上，以边长为n（n大于12且不被3整除的偶数）的正方形的挖去1单位正方形后仍可被L型构件填充 成立。