凸集几何     

    现代几何学的一个分支.凸集几何集线性代数、分析、点集拓扑、几何等内容于一体，利用凸性概念的几何观点，研究有限维实仿射空间中图形的几何性质，它是一门年轻的数学分支.在20世纪50年代，由于数学规划论、最优控制理论、对策论、数理经济等应用学科的兴起，出现了一个新的数学分支——凸分析.随着凸分析的崛起，根据凸集的几何特性，与凸分析相辅相成地形成了凸集几何.

    凸集几何含有古典的有趣内容.早在1813年，柯西(Cauchy，A.-L.)就指出：“设P，P′是仿射空间X中的两个凸多面体，f：F_rP→F_rP′是保持顶点、棱和面的一个双射.若对于P的任意一个面F，限制f｜_F：F→f(F)是一个等距，则存在X的一个等距f(-)，使得f(-)(P)=P′，f(-)｜_FrP＝f，特别地，P和P′是等距的”.柯西的这个定理有一个推论：“一个凸多面体P是不可弯曲的”，从这推论又提出一个问题：是不是存在非凸的可弯曲的多面体?时隔164年之后，由康内利(Connely，R.)构作了一个单连通的可弯曲的多面体.多胞形是内部非空的紧多面体，是平面上凸多边形和三维空间中凸多面体的推广.施拉夫里(Schla(¨)fli，M.)于1850年给出了多胞形的分类：对于二维情形有无限多个正多胞形;对于三维与四维情形，各有五个正多胞形;当维数大于或等于五时，恰只有三个正多胞形：立方体、余立方体和正则单形.由此施拉夫里定理可以作为下面那句富有哲理的格言的一个例证：“丰富的结构大多数是低维的，而贫乏的结构大多数是高维的”，例如，单李群、可除代数、二次型域、正交群的非单性、二维负常曲率的紧结构的可变性等具有丰富的结构;但拓扑向量空间、有限域的可换性、可微映射的一般奇性等具有贫乏的结构.此外，尽管施拉夫里定理是纯几何的，但是正多胞形就它们的等距群来说，是属于重要的数学结构之列的;它们的群是“经反射生成的”，用的是超平面对称.而这种类型的有限群也能进行完全分类，这在李群和代数群的研究中起着重要的作用.

    体现凸集几何特性的有三个著名的例子：闵科夫斯基加法;一个凸集关于一个球面的对偶凸集(或配极);一个凸集的施泰纳对称.尤其是施泰纳对称化可用于证明一类凸超曲面的极值性质.凸集有两个判定准则：

    1.设S是欧几里得仿射空间X的一个非空闭集，若对于 x∈X，存在惟一的y∈S，使得d(x，y)=d(x，S)，则S是一个凸集.

    2.设A是一个内部非空的闭集，若A的边界上每一点都具有一个支撑超平面，则A是一个凸集.

利用代数拓扑观点，在不计同胚差别的意义下，可将凸集与凸集的边界进行分类，有下述的结论：

    1.若X是一个d维仿射空间，A是X的一个d维凸集，则Å与R^d同胚，特别地，d维空间内一切非空的开凸集都是与R^d同胚的.

    2.X的任意一个开星形集与X同胚.

    3.若A是一个有界的凸集，且dim X=dim A=d，则其边界F_rA恒与球面S^d-1同胚.

对于非有界的凸集A，若dim A=dim X=d，且F_rA≠ ，则F_rA或同胚于R^d-1，或同胚于

S^d-r-1×R^r (0≤r≤d-1).

    作为此结论的特例，一条凸曲线或同胚于圆S¹，或同胚于直线R，对于三维欧几里得空间中的凸曲面，它是一个连通集，可作为空间中三维凸集的边界.因此，凸曲面总是或同胚于R²，或同胚于S¹×R(圆柱面)，或同胚于S².凸集几何中有一个古典的海因-巴拿赫定理：若X是仿射空间，A是X的一个非空凸开集，且L是X的一个仿射子空间，使得A∩L= ，则存在X的一个超平面，它包含L且与X不相交.作为这个定理的一个几何应用是：若A是一个闭凸集，则经过A的边界上的每一点，有一个在该点处的支撑超平面.海因-巴拿赫定理在泛函分析中有重要的应用，其关键是超平面与线性形式之间具有对应关系.一个凸集具有不同类型的边界点：顶点、端点和暴露点.顶点必是端点，但反之不然，对于多面体两者是一致的.暴露点必是端点，但反之不然.作为端点的一个应用是：若f：A→R是连续的凸函数，则f至少在A的一个端点处达到它的极大值，即

sup_Af=sup_Extrem(A)f.

     这个结论在极大值问题的具体应用中是有用的.例如，在博弈论、对策论和线性程序设计方面都可用到.若要找其极大值的那个函数是凸的，则只要知道该函数在Extrem(A)上的值就够了.例如，当A为多面体时，这种点只有有限多个.端点在应用数学中也要用到，例如，双随机矩阵全体构成一个凸集，此凸集的端点为置换矩阵.有两种构作凸函数的方法：

    1.布鲁诺-闵科夫斯基定理：若A和B是仿射空间X中的两个d维紧凸集，并且L是X上的勒贝格测度，则函数

[0，1] λ↦L(λA+(1-λ)B)^1/d∈R

是凹的.

    2.若Q(E)是E上欧几里得结构全体所成的空间，L是E上的一个勒贝格测度，对于每一个q∈Q(E)，配以椭球面q^-1(1)，其凸包络为实心椭球E(q)=q^-1([0，1])，则Q(E) q→L(E(q))∈R是严格凸的.

    利用这个凸函数可以证明勒夫纳-伯哈雷特定理：若E是一个有限维实向量空间，赋有一个勒贝格测度，若K是E的一个具有非空内部的紧集，则存在惟一的一个包含K且体积极小的椭球体.布鲁诺-闵科夫斯基定理也可用于证明等周不等式.所谓等周不等式可叙述如下：设C是欧几里得空间中任意一个内部非空的d维凸集，则在体积给定的所有内部非空的紧凸集中，以球的面积最大(或者说：在面积给定的这些凸集中，以球的体积最大).等周不等式有广泛的应用，特别地，紧致黎曼流形的齐格等周不等式已成为现代微分几何研究中一个强有力的计算工具.

    从20世纪70年代开始，伯热(Berger，M.)在黎曼流形(M，g)中用到了凸集的有关性质.所谓黎曼流形(M，g)中的集合A是凸的，是指：对于 m，m′∈A，存在惟一的一条极小测地线连结m与m′点，并且此测地线含于集合A内.按凸集的定义，在黎曼流形(M，g)上引入了凸半径的概念.设(M，g)是n+1维欧几里得空间Rⁿ⁺¹中的n维黎曼子流形.m∈M，用H_m表示m点处切于M的超平面.若在M内存在点m的邻域U，使得整个U位于H_m的一边，则称子流形M在点m处是凸的.又，若U∩H_m退缩为点m，则称子流形M在点m处是严格凸的.若在M的任意点处都是凸的(严格凸的)，则称子流形M是凸的(严格凸的).

    随着凸集几何与凸分析的发展，凸集几何在变分学、最优控制、偏微分方程、逼近论、数理经济学等方面将越来越显示出它的重要性，特别地，在随机几何中它将发挥更大的作用.作为几何学的本身，凸集几何将会广泛地用于几何测度论和微分几何，尤其在黎曼流形上，凸集的几何特性的应用将越来越深入，越来越广泛.例如，伯热于1988年指出：设有一类黎曼流形，带有边界 M，且具有凸性，在 M中定义距离d(p，q)，试问在什么范围之内距离d可作为映射 M× M→R₊决定一个“内部”度量g(不计内部等距的微分同胚)?据此，在地震、x射线、扫描等考虑一刹那间的这样一类问题中显示出凸性研究的重要性.