摘要：乘法的意义通过乘法模型构建出高层次结构框架。结合理论，通过系列的教学实践 ，找到了行之有效的教学手段，帮助学生知识结构化。

关键词：乘法模型 结构化 聚集模型

二年级上册第三单元《数一数与乘法》乘法初次出现，学生通过“数一数”等活动，经历了从具体情景中抽象出乘法算式的过程，初步体会了乘法的意义，即乘法是求几个相同加数和的简便运算。那么，乘法的意义仅此而已么？在数域扩展以及更多现实情境出现后，该如何构建完整乘法的意义呢？我查阅了许多相关研究文献后做了如下思考。

“小学阶段所教学的每一种运算都可以看作是一个‘模型’”。[1]那么将乘法看作是一种模型的话，可将其按不同的现实情境分成以下四种现实模型：“一是等量组的聚集，即大致相当于通常所说的‘连加’。二是倍数问题。三是配对问题，也是笛卡尔积。四是长方形的面积。”[2]而“乘法”在整个小学阶段主要分为整数乘法、小数乘法、分数乘法这个三个阶段来学习。其中整数乘法意义是小数和分数乘法意义学习的基础，随着数域扩展，乘法的意义没有发生本质的改变，都是在几个相同加数的和的意义上进行拓展。这三个阶段的乘法意义构建，其主要任务就是引导学生从乘法意义的固化理解到“乘法模型”的构建。

那要怎样帮助学生实现这一转变呢？我想起了闫云梅、刘琳娜、刘加霞三位老师的一篇文章中提到过：要“突出等量组的聚集模型在乘法概念建构中的基础作用。等量组的聚集模型是一切乘法模型的基础，学生对乘法概念的认识是以‘同数连加’为前提的。每一个新的乘法模型的出现，都是先将其转化为等量组的聚集模型”。[2]因此，在学习了整数数系中不同现实情境的乘法模型后，即将其中的倍数模型、面积模型、配对模型转化为最基本的等量组聚集模型，为数系扩展后的意义理解奠定转化和联结的基础。在学生对乘法的认识处于混乱时，务必花一定的时间，帮助学生整理归纳，对乘法的意义有一个结构上的构建。具体操作如下。

一、 联系新旧知识，对比总结归纳。

1.  巩固乘法的初始意义。

提问：图中一共有多少个桃子？如果想用乘法算式解决，该怎样移动桃子？

小结：想要列乘法算式，那就必须创造出 “相同加数”，即排列成整齐的方阵。所以，乘法是加法的一种特别的形式而已，其总数是不变的。

2.呈现所学各种数域乘法的意义，对比研究，归纳总结——都是“同数相加”的简便运算！只是有的是“几个相同整数相加”，有的是“几个相同小数相加”，有的是“几个相同分数相加”而已。

一、 联系不同情境，归一同一模型。

1.回顾固化的乘法意义。

   提问：3×4可以表示什么意义？学生都知道既可以表示3个4相加，也可以表示4个3相加。

2．总结不同的现实情境。

（1）学生思考：3×4可以解决生活中的哪些实际问题？

 学生的答案很丰富，囊括了所学的所有知识点，我从中挑选了比较有代表性的几个问题板书出来：

一个盘子里有4个苹果，有3盘，一共有多少个苹果？        列式：3×4

一个长方形的长是4，宽是3，面积是多少？             列式：3×4

淘气有6颗糖，笑笑糖的颗数是淘气的3倍，笑笑有多少颗糖？ 列式：3×4

有3件上衣，6条裤子，一件上衣和一条裤子配成一套，一共有几种搭配？列式：3×4

（2）提问：每个问题中的“3”代表什么？“4”又代表什么？为什么这些不同的问题都能用同一个算式3×4解决呢？画一画，想一想。

学生作品：

通过画一画这个活动，学生充分认识到了虽然现实的情景模型不同（有倍数模型、面积模型、配对模型），但是都可以将其看作是3个4相加，而且3是份数，4是每份的个数，进一步总结出更基本的聚集模型：每份数×份数＝总数。

3．结合基本模型，整理教材。

  出示教材中反复出现的情景模型，让学生思考发现，很多问题都可转化为每份数×份数＝总数。比如：一辆汽车每小时行驶80，3小时行驶多少千米等。

一、 方法梳理。1.  无论是哪种乘法模型，最终都可以归纳为“每份数×份数=总数”这种等量组的聚集模型。

2.  拓展延伸。可以让学生利用思维导图等工具，总结乘法的意义，并展开联想，乘法与其他运算之间的联系，关联不同的运算结构，整体构建运算框架。

四、几点反思。

   在教学中，纵向构建不同数域的乘法意义比较轻松，学生很快能通过观察发现其中的本质。但是横向构建不同现实模型之间的联系时，学生能轻松找到聚集模型和倍数模型之间的关联，但是面积模型和配对模型的转化就困难重重，在教师的不断引导与PPT演示后才发现其联系，说明学生的高层次认知结构还未搭建完善，看来本次教学的开展还是很有必要的，有效的帮助学生利用乘法模型构建出了乘法意义的本质结构。

参考文献：

[1]刘加霞.作为“模型”的乘法——对数学概念多元表征的思考[J].小学教学（数学版），2008（10）：46-48.
[2]闫云梅，刘琳娜，刘加霞.小学阶段乘法的不同现实模型分析与教学[J]课程·教材·教法：2014（3）.