本文摘自：http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/2-3.HTM

高斯过程又称为正态随机过程，它是一种普遍存在和十分重要的随机过程。通信系统中的某些噪声的统计特性或数字特征符合高斯过程的统计特性或数字特征，则称该噪声为高斯噪声。经大量观察表明，高斯噪声始终存在于任何一种信道中，因而，对它的研究具有特别重要的实际意义。本节研究:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/Blueball.jpg  高斯随机过程的定义

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/Blueball.jpg  高斯随机过程的性质

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/Blueball.jpg  高斯随机过程的一维正态分布

　

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/0015.gif 2.3.1 高斯随机过程的定义：

　　随机过程，任意http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-1-6.gif维（n = 1,2,...) 概率密度为：

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-1.gif

　　式中:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-3.gif

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-4.gif-归一化协方差矩阵的行列式，即:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-5.gif

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-8.gif的归一化协方差函数

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-9.gif

-http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-4.gif的因素的代数余子式(也是一行列式)

　　由此式可看出:高斯过程http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-1-2.gif的http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-1-6.gif维概率密度完全决定于其http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-12.gif的数学期望，方差和与两两之间的归一化协方差。

　

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/0015.gif 2.3.2 高斯随机过程的性质

　　(1)如果高斯过程是宽平稳过程，则， 与时刻无关，是一常数;而仅与有关，因此其http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-1-6.gif维概率密度满足严平稳条件，所以宽平稳的高斯过程是严平稳的高斯过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是一致的。

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/yellowball.jpg :对于其他随机过程此结论不一定成立。

　　(2)如果http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-8.gif两两不相关，即:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-18.gif

则有:http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-20.gif

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-21.gif

这时有:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-22.gif

令:http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-23.gif

则有:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-24.gif

即:http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-12.gif两两相互独立。

这说明，对于正态随机过程的任何两个时刻的随机变量，不相关也就是统计独立。

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/yellowball.jpg 对于其他随机过程此结论不一定成立。

　

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/0015.gif 2.3.3 高斯随机过程的一维正态分布

　　若随机变量http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-1-2.gif的概率密度函数为:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-25.gif

　　则称http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-1-2.gif为服从正态分布的随机变量。其中:http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-26.gif为数学期望，http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-27.gif为方差，

　

图2-4-1 正态概率密度曲线

交互演示（注意以下问题）:

1 在交互演示中，增大均值http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-26.gif,观察一维正态分布曲线的变化？

2 在交互演示中，减小均值http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-26.gif,观察一维正态分布曲线的变化？

3 在交互演示中，增大方差http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-27.gif,观察一维正态分布曲线的变化？

4 在交互演示中，减小方差http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-27.gif,观察一维正态分布曲线的变化？

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/0015.gif的性质如下:

(1)http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-30.gif

(2)http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-31.gif这条直线，即

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-32.gif

(3)在内单调上升，在内单调下降，在点http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-26.gif处达到极大值。当或时，。

(4)当不变时，改变http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-26.gif，的图形左右平移;当http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-26.gif不变时，的图形将随着的减小而变高和变窄。

 http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/0015.gif标准正态分布

若http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-41.gif，则称这种正态分布为标准化正态分布，即

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-42.gif

正态分布函数为:

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-43.gif

式中，http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-44.gif为概率积分函数，其定义为

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-45.gif

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-46.gif

这个积分不易计算，但可借助于一般的积分表查出不同x值时的近似值。

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/0015.gif 几个有用的公式

　

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/Lanball.jpg误差函数、互补误差函数及φ函数

　　正态分布函数还经常表示成与误差函数相联系的形式。所谓误差函数，它的定义式为

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-47.gif

　　并称http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-49.gif表示，即

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-54.gif (2.4-1)

　　因为

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-55.gif

　　如果http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-56.gif，则

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-57.gif(2.4-2)

　　如果http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-58.gif，则

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-59.gif(2.4-3)

　　令http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-60.gif，代入式(2.4-2),(2.4-3),则有

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-61.gif

　　因为，所以当http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-58.gif时，有

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-63.gif

　　或

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-50.gif 　　(2.4-4)

　　而当http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-56.gif时，则有

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-51.gif

http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/NRXX/02/tu/2-3-52.gif 　　(2.4-5)

　　http://210.32.24.128/kecheng/txyl/web/TU/yellowball.jpg :在以后讨论通信系统抗噪声性能时，公式(2.4-1)及(2.4-4)、(2.4-5)是常用的。