殊途同归

                            ---《图形中的规律》教学设计与设计意图

[设计者]

赵瑞杰 / 鹤壁市山城区第八小学 

[内容出处]

图形中的规律。北师大版（2013版）小学五年级上册《数学》数学好玩，P97。（1课时）

[课标要求]

探索给定情境中隐含的规律。

[学习目标设计]

学习目标设计的主要依据:数学课程标准（2011）、学习内容、学习者特征。

1、学习内容分析

北师大版的《数学好玩》重视激发学生学习数学的兴趣、体会数学思想、锻炼思维能力、发展学生综合运用所学知识分析和解决问题的能力。通过对教材的梳理，我们不难发现：这部分内容学生并不陌生，从一年级学生经历的一些简单的寻找数列规律的探索活动，到四年级上册学生经历的《有趣的算式》、《乘法结合律》、《商不变的规律》等探索活动，学生寻找规律的经验还只局限于数与代数领域，学生还只是关注数与数、数与式之间的规律，也有过化繁为简、从简单问题入手研究复杂问题的初步经验。而到了四年级上册研究《数图形的学问》时，学生研究的视角在悄然间发生了变化，从单纯的关注数变成了在图形中发现一些规律并初步尝试运用数据来刻画图形中的规律，这与本节课的内容相似，也是体现数形结合思想的一个很好的研究素材。另外在四年级下册学习了用字母表示数的知识，能用含有字母的式子表示简单图形独立排列所需的小棒根数和所摆图形个数之间的关系。在此基础上，本节课设计了“摆三角形”探索活动，教材以“观察---猜测----验证----应用”为主线，充分贯彻以学生为主体，教师为主导，注重引导学生从不同的角度去探索规律并让学生用准确地语言描述自己探究发现的过程，学生可以体会到图形研究规律的形式是多样的，渗透解决问题的策略多样化，同时也提高自身抽象概括、归纳推理的能力，感悟数形结合、化繁为简、建模的思想。

2、 学习者分析

（1）已有知识基础：在数的方面，学生已经认识了自然数和整数，倍数因数，奇数偶数，质数合数，小数、分数等。在形的方面，对长方形、正方形、平行四边形，三角形，梯形的特征也有了深刻的认识，并能用含有字母的式子表示简单图形独立排列所需的小棒根数和所摆图形个数之间的关系。

（2）已有活动经验：具备独立思考、动手操作、合作交流的能力，对于规律性探究有比较浓厚的兴趣，同时具备了用数形结合的方法分析问题的基础。

（3）已有思维特点：五年级学生抽象思维逐步形成，但也有部分学生抽象思维与空间想象能力存在一定的差距，在前测时发现部分学生在用算式表达三角形个数和所需的小棒根数之间的关系时有一定的困难。

3、学习目标

（1）经历观察操作、探索的过程，体验发现图形(摆三角形)中规律的方法，发现图形中隐含的规律，体会形与数的联系。

（2）结合探索、尝试、交流等活动，感受形与数的文化价值，发展归纳与推理能力。

（3）在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志；同时也把规律引向深入，为形成从个别到一般，从简单到复杂的辩证唯物主义思想打下基础。

[资源与建议]

1、 对资源的分析、建议: 《图形中的规律》是一节数学实践活动课,因为本节课要利用图形研究数，寻找数和图形之间的联系，部分学生还有困难，用准确的语言描述自己探究发现的过程，并说出这样列式的依据更是一难点。学生虽然具备用数形结合的方法分析问题的基础，但是思维特点正处于从具体形象思维逐步转向抽象思维的过渡期，这种抽象逻辑思维在很大程度上仍然依靠感性经验的支持。因此要充分调动已有的知识经验,通过自主活动、实践探究、合作交流、主动反思来自主地探究知识解决问题。

2、本课的学习按以下流程进行:

   探究摆连续三角形的规律→推理摆正多边形的规律→简单应用

3、本节课的重点是通过观察操作、画图、探索等活动，寻找发现图形中规律的方法。难点是会用算式表达图形中的规律。

[学习过程]  

一、初见规律。

1.你们能用小棒摆出三个相同的三角形吗？并把自己的摆法画在纸上。

  动手摆，再展示交流。

 

 

 

 

 

思考1：为什么都摆了三个相同三角形，所用的小棒的根数不一样？

引导：两个三角形挨在一起，就少摆了1根小棒。（指着图形中的公共根）

明确：这一根即是第一个三角形的边也是第二个三角形的边，我们叫它为公共边。一条公共边节约一根小棒。

引导：图、图、图中分别有多少条公共边？

把公共边用铅笔描出来。

预设：像图那样摆摆出10个三角形，需要多少根小棒？摆出n个三角形需要多少根小棒？

追问：小棒的根数与三角形的个数有什么关系？

明确：小棒的根数是三角形个数的3倍。

【设计意图：从简单的问题入手，在想图形、摆图形、画图形的过程中引发学生不同的思考。想象不同画出图形也不同，需要小棒的根数也不同。通过

“关联”，呈现数量和图形之间的联系，不同角度的观察在交流碰撞中引发不同的思考，为图形规律的被发现、再生长埋下了伏笔。】

二、发现规律。

1.思考2：像图摆出3个三角形需要7根小棒，你能写出一个算式吗？

展示学生的算式。3×3－2、3+2×2、1+2×2

	算式	画图	用文字解释
方法一	3×3－2		每个三角形需要3根小棒，三个三角形需要3×3，再减去重复的两2根。
方法二	3+2×2		第一个三角形需要3根小棒，后面的每个三角形需要2根小棒。
方法三	1+2×2		先摆一根，以后每个三角形都需要2根小棒。

2.全班交流，用文字、画图来解释每个算式。

 

引领：用小棒摆一摆，再画一画。

预设：算式表达出图形中的规律抽象，如何摆小棒或画图来表达图形中的规律？

设疑:算式中的每个数和图形中小棒有关联吗？有怎样的关联？

引导：“3×3－2”中的2对应图中的哪些小棒？

“3+2×2”中的3对应图中的哪些小棒？

“1+2×2”中的1对应图中的哪些小棒？

追问：如果连续摆4个三角形需要多少根小棒？5个呢？说出算式。

【设计意图：算式的产生是学生对图形的观察思考的产物，根据算式还原图形就是让思考能够被看见，能够被表达。正是借助图形的分析，从数中发现规律，是学生感悟数形结合的绝好契机。把图形与算式结合起来解释显得直观清晰，让学生经历“不理解---豁然开朗”的过程。摆图形的过程，为理解规律提供了形象化支撑，使学生经历了由现实情境逐步数学化的过程，这不仅理解了图形中的规律，也积累了一次探索与发现的活动经验。】

3.思考3：连续摆n个三角形需要多少根小棒？

3×n－（n－1）

3+2×（n－1）

1+2×n

全班交流。

明确：相同的图形，不同的观察视角，画出图形的不同，写出的算式也不同。

追问：第一个算式中减去n－1而不是n？

第二个算式为什么2乘以n－1而不是n？

设疑：三个算式的计算结果相同吗？

明确：3×n－（n－1）以后再研究

3+2×（n－1）=2×n+1

1+2×n=2×n+1

【设计意图：课堂上引领学生聚焦不同算法的思考，让课中不同的声音、不同的方法在交流中碰撞，在资源共享中拓宽学生的思路，对问题认识的深度和广度逐步指向数学模型的构建。同一个图形因为观察视角不同，画出的图形也不同，得到的算式也不同，但经过化简发现算式的本质是相同的，数学模型的构建就是在殊途中完成了同归。】

三、拓展规律。

过渡：刚才摆三角形，现在摆正方形。

思考4：摆8个正方形需要多少根小棒？

 

 

引导：解释这个算式？

提问：摆n个正方形需要多少根小棒？

 

 

追问：这个算式中每个数都表示什么？借助图形来解释。

【设计意图：没有聚焦的发散是没有价值的。学生不由自主地选择简洁的方法是来自实践的比较，是学生内在的需求。整个过程即是对规律的“举一反三”，也有对探究方法的“举一反三”，学生的智慧得到充分展现。】

思考5：摆n个正五边形需要多少根小棒？

 

 

 

摆n个正六边形需要多少根小棒？

 

 

摆n个正a边形需要多少根小棒？

【设计意图：模型思想就是要求一个问题的解决伴随着同一类问题解决的拓展。从研究三角形到正方形、正五边形、正六边形，学生在不断辨析与思考。在外在的不同之中，发现内在的相同，类型可以合并，模型可以归一。】

四、运用规律。

    如下图：连续摆图形一共用了61根小棒，分别能摆出多少个基本图形（三角形、正方形、正五边形……）？（选择其中的一种图形研究）

 

 

 

 

 

 

全班交流。

预设：摆出了多少个三角形？多少个正方形？多少个正五边形？

追问：有没有摆成一个图形的可能性？如果有，它是几边形？

在摆图形的过程中，你发现了什么？

明确：摆出图形的个数越来越少。

【设计意图：由于刚才对数形结合真切地感悟，学生已经能够自然有意识地在探究中加以应用。学生得到的不仅是对数理的理解，更有探究方法的启迪、数学思想的感悟。通过逆向发散的思考，让学生对模型的体验、理解、建构逐步走向丰富、深刻、成熟，模型的运用走向多维。一节数学课的价值，不仅仅在于学生已经知道了什么，更为可贵的是引导学生继续研究什么。】

五、课堂总结

在今天的实践活动中你有哪些收获？

我们这节课所研究的只是图形问题的冰山一角，在生活中还有很多这样有趣的图形，我们要有一双善于发现的眼睛，做事之前要先观察，再思考，发现其中的规律，这样就能达到事半功倍的效果。