皮克定理与欧拉定理

陈诗峰 2015/10/25

皮克定理：

  平面坐标系上一个点的X，Y坐标均为整数，我们称这样点为“整数点”，平面平面几何中一个多边形P（不分凹凸）的各个顶点均为整数点，则这个多边形的面积S＝I B/2-1。其中I是P内部整数点的总数，B为P各边上的整数点的总数。

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 此定理由犹太数学家GeorgAlexander Pick发现。Georg Alexander Pick，1859年生于维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。

皮克定理是一个平面几何的定理，而且把图形顶点限制在整数坐标点上，这说明了它所研究的本质上并不是连续关系，而是离散关系，不是几何量之间的数量关系，而是拓扑关系。就是不依赖于具体几何量的命题。

有一个强有力的例子，就是由平面几何的皮克定理，可以证明三维立体几何里面的著名定理欧拉定理，V-E＋F＝2。V代表顶点数，E代表边数，F代表面数。

具体证明思路大致如下：

1）        将多面体其中一面扩大足够大，是的其余各个面上的顶点在这个面上的垂直投影都落在该面的多边形内部。这样多面体，就在该面投影成为一个平面图形，而保持拓扑关系不变。

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2）        将平面图形做位似变换，放大到各边长都超过2，以各个顶点为圆心，半径为1做一个圆，这是各个圆互不相交，而且圆内必定有整数点，将顶点移动到圆内的整数点，这样拓扑关系不变，而且各个多边形都满足了皮克定理的前提条件。

3）        之后，运用2种方法计算投影最外围多边形的面积，一种是利用各个面的投影多边形的面积之和（分别应用皮克定理），另一种是直接对这个多边形应用皮克定理，两者一比较就可以得出欧拉定理。