第四章  分数原来很简单

当我完成了在巴塞尔大学的学业之后，约翰觉得我应该留在这里教授一批新的在数学方面有天分的人，于是他出面替我申请教授这个头衔，而我，则全力准备法国科学院关于船的立桅问题的有奖征集论文。

不得不承认，现在的欧洲已经越来越重视对于海洋的控制权，毕竟有荷兰、西班牙、葡萄牙、英国等海洋霸主们的事例在先，因此关于航海问题的研究现在可以拿到全欧洲的科研项目的高度上来。我对此是充满信心的，所以我用自己擅长的数学分析方法准备了一篇很完备的论文呈了上去，但我自己都能感受到的里面隐约存在的问题也没有逃得过那些评委们的眼睛，这个问题就是关于这些分析在海船上的实际应用可能。请允许我为自己做一点辩解，要知道，我的祖国是瑞士，迄今为止我还没有离开过这里的经历，在一个不临海的国度，只有星星点点的帆船在美丽的湖中静静飘荡的世外桃源里想象一幅在一望无际的海洋中不但要抵御自然的惊涛骇浪，还得面对穷凶极恶的敌人的场景是多么的不切实际，在我看来，这比想象外星飞船的构造和动力系统还困难一百倍，所以，虽然我的论文得到了不错的评价，但是并没有赢得年度的奖金，说真的，当时我真的觉得有点失望，毕竟这是第一次参加类似的角逐，总是希望自己高涨的热情能有一点回报。偏偏约翰这时候带回来的消息也不那么令人开心，巴塞尔大学拒绝了聘请我作为数学教授的申请，毕竟让一个刚刚满二十岁的年轻人担任教授，在传统与观念上都与让大家觉得太过惊奇，可能在他们眼里，这比吸血鬼变成了素食主义者一样令人不可思议。

远在俄国彼得堡的丹尼尔从他的爸爸约翰那里听到了关于我失利的消息，心里也很不舒服，但他很快就把这种不舒服变成了寻找解决方法的措施，他现在是彼得堡大学的数学教授，于是也替我在彼得堡的科学院找到了一个位置。想到很快就能跟我的好朋友在一起，我也很高兴，高兴的程度不亚于我告诉你们今天只讲我的故事而不讲枯燥的数学时你们的反应。

在俄国的日子也不是一帆风顺，第一个小挫折就是当我打点行装来到彼得堡的时候，因为俄国的掌权者已经由一个对科学感兴趣的女皇叶卡捷琳娜一世变成了一个觉得科学就像可有可无的奢侈品一样的彼得二世，这令丹尼尔又费了很大的周折才让我最终进入了科学院，这其中花费的辛苦要比你想和伙伴一起去参加周末的露营得挖空心思想办法让爸爸同意，或者去向妈妈要一大笔钱买一个本来不应该你操心的物件要难得多。

不管怎么说，我进入了彼得堡的科学院，能够专心的开始我最喜欢的数学研究，这就足以让我觉得之前的种种挫折不算什么了，而且我越来越发现你们也应该像我一样，拥有这样的心态，困难总是暂时的，可是当困难来临的时候，确实要比阿尔卑斯山还要高一点，这个时候，要么你就选择绕过它，要么就选择带上足够的给养去登山，只要你不转身放弃，那么就早晚会远远的把它甩在身后而继续前进。

丹尼尔比我聪明，这是我发自内心承认的一个事实，只是聪明的人往往对周围的环境比较敏感，并因而受到影响，所以丹尼尔面对彼得大帝的侄女安娜·伊凡诺夫娜，也就是安娜女皇继承了彼得二世的位置，而大环境却变得严酷而恐怖的情景觉得很不适应，他开始怀念我们的家乡瑞士。

就像当初他觉得我没有被巴塞尔大学接受成为数学教授，就应该采取果断的行动离开一样，他对这里的环境觉得厌弃之后，也果断的做了选择：回到一个不会令自己窒息的地方去。在离开之前，他推荐我作为彼得堡科学院数学部负责人最适合的人选，而在他离开之后，我也确实担当起了这个职位。

丹尼尔的离去让我感觉到前所未有的孤独，这也促成了我娶了画家格赛尔的女儿柯黛玲为我的妻子。大环境还是那么差，好在我已经能做到即使膝盖上抱着孩子，也能专注计算和完成论文。周围的不少人对我完成数学论文的评价是：欧拉写他的数学论文就像给亲朋好友写信一样简单和流畅；还有人说：欧拉能在他妻子第一次和第二次催他吃午饭的空档里就完成一篇数学论文。这些话传到我的耳朵里，让我有点得意，因为虽然有那么一点点夸张的成分，可这基本上属于事实。

这也就是为什么我希望你们不要手懒，应该多动笔的原因，只有不断的练习与积累，运算的速度和质量才能有真正的提高，我可不希望你们到写信都像写论文那么困难的地步。

只有在与孩子们在一起，才能让我忘记房子外面可能因为说错一句话，写错一个字就要被流放到遥远的西伯利亚的那种腥风血雨，我带着他们唱歌颂诗之外，还会给他们出很多自己编的数学题，有个当数学教授的爸爸最大的好处，就是可以省掉购买数学习题集的钱。

这就是我留给他们那些数学题其中一道：一个富商在临终时立下了分配财产的遗嘱，说要让大儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一，二儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一，三儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一，四儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一，依此类推，最后的结果是每个孩子分得的遗产是相等的，问：遗产的总数、孩子的个数和每个孩子分到的遗产各是多少呢?

我已经看出了你们对这道题的一致反应，就是眩晕，因为我们还没有说关于分数的问题，是不是？所以你们有足够充足的理由说这道题太难了。那现在我就说说关于分数的问题。

分数，可以简单的认为是把一个物体分开，然后用总的份数与被用到的份数相比，这个时候，那个物体被看成是“1”，比如你有一块蛋糕，把它平均分成五份，你吃掉了三份，还剩下的两份你怎么分给你的两个小弟弟呢？什么？不分给他们？自己藏起来留着明天继续吃？哦，文森特，我相信你会这么做，但是现在是在数学的世界里，并不是真实的生活，所以你尽可以把蛋糕分给他们，每个弟弟分到半块？为什么？因为剩下的两块里你还要自己再吃一块才肯分？看来我用食物举例子是个错误。好在你们已经明白了这其中的基本意义，在分数的表示上，一般都是用一上一下两个数字，中间是一条横线隔开的形式来体现的。比如在这个……唔，已经不好吃了的蛋糕的例子里，已经吃掉的是3，总份数是5，那么吃掉的部分占总数的比例就可以写成3/5，如果下面的数字远远大于上面的数字，就说明这个数目只占总数的很小一部分，比如1/100，杰西卡，你把自己的那份香肠的1/100分给你的小猫，我敢保证，它是不会感激你的，它会盯着你盘子里那剩余的99/100。但是如果上面的数字变成与下面的差距不大，比如89，那么就代表已经占去了总数的一大部分，在你给你的小猫咪89/100的时候，它还是不会感激你，因为它要专心致志的大嚼眼前的一大块香肠，如果你觉得心里不平衡，那么就把它偶尔晃一下尾巴，或者喉咙里发出“呜噜噜”的叫声当成对你的答谢好了。

文森特你说什么？相比马上就让你感到饥饿的香肠，你还是喜欢用蛋糕举例子？哦，那好吧，如果上面的数字和下面的数字一样，那就还是代表这个没有被破坏的1，别急着点头示意，我记得例子呢，这时也表示那块蛋糕的初始状态，刚刚被切好，妈妈手里的餐刀还没有放下，这个过程只能持续5到10秒，然后就只能去文森特的腮帮子里找横线上面的部分，现在你感觉不那么饿了吧？

如果上面的数字比下面的大？拉里，这个问题提的不错，这个时候的分数叫做假分数，没错，是真假的“假”，那之前上面的数字比下面的小的是不是叫真分数？没错杰西卡，你说的对。假分数比如350/35，因为分数常常代表它在一个整体“1”中的比重，所以总是会小于1，所以得把它变成一个可以跟1来比较的数字才行，方法很简单，用上面的数字除以下面的数字就可以，在这个例子里，很简单，结果是10，我想省点力，所以举了一个足够简单的例子，实际的数学运算里，是难得有这样的好运气的，还是说一个正常一些的，比如30/7，除法运算的结果是商得到4，还余下2，那么4就是一个整数，而2还跟7放在一起，写作2/7，不要忘了前面还有一个4，现在可以知道，30/7比4要大，比5要小。这种整数与真分数的组合被称作带分数。

带分数和假分数的反应是可逆的，就像乘法与除法一样，带分数同样可以很快的变成假分数，只要把整数与下面被称作分母的数字相乘，得到的结果再加上上面被称为分子的数字，最终的结果作为上面的数字——分子，就可以了，很麻烦？4乘以7再加上2，得到30，一点也不麻烦。

两个——当然可以更多，只要你喜欢——分数遇到一起，免不了的要有很多加减乘除的计算让它们产生各种各样的联系，这时候该怎么办？

加法和减法的思路是一样的，只要拥有同样的分母，它们就可以比大小，至于为什么要有同样的分母，就像房子的地基一样，两座占地面积同样大的城堡才能比大小，是不是，否则一个只有两层，但是占据了很大一块地方的城堡和一座占地虽然不大，但是却有十几层的城堡从表面上是很难分出大小的，地基就是它们的分母。分母一样，在比大小之余，可以进行加或者减的运算，这场战斗只发生的上面的分子之间，下面的分母在提供了战场之后，就开始舒舒服服的看热闹。等到分子分出胜负结果之后，再与分母组成一个新的数字。

变成共同的分母的过程，其实就是一个找出最小公倍数的过程，比如7/8减去3/5，得先在8和5之间找出一个它们两个都能接受的数字，最简单的方法就是把它们相乘，因为只有它们都参与进来，才不会对选出的数字表示反感。得到的数字是40，分母8变成40，扩大了5倍，于是分子也相应的扩大5倍，变成35；那边的分母5则扩大了8倍变成40，则分子也相应的扩大8倍，等于24，现在，可以直接用35减去24，得到新的分子11，它会与懒洋洋的分母40组成一个新的数字：11/40，也就是7/8减去3/5的结果。

相比起加减，乘除的步骤就简单多了，两个分数在相乘的时候，分子乘以分子，分母乘以分母，得到的新的分数就是运算的结果，在超过两个以上的分数相乘时，你需要耐着性子把所有的分子和所有的分母都乘过来才行。比如3/4乘以2/11乘以7/9，分子相乘，3×2×7，等于42，这是新的分子；分母相乘，4×11×9，等于396，它是新的分母。所以运算的结果就是42/396，这样虽然没错，但是它还不是最精简的结果，因为42和396之间还有一些共同的倍数，需要同时除以那个相同的倍数才能化简，这个过程叫做约分，涉及到的倍数的数字因此被叫做约数。先来把42和396分别除以2，得到21和198，看起来它们还有共同的约数，再用3试试，它们果然还能再被3整除，得到7和66；现在，它们已经没有共同的约数了，所以7/66才是这道题最标准的结果。

下面，没睡着的人听我继续讲除法，除法的第一步是先变成乘法，然后按照乘法的步骤就能轻松的得出结果。

至于怎么变乘法，简单的不能再简单了，谢谢你的道具安德森，但我不是魔术师或者巫师，所以黑礼帽和魔法棒在这种变化中都派不上用场，至于笤帚，你自己继续骑着吧，我更喜欢就这么规规矩矩的站着。

在变化的时候，只要把除数分子和分母调换一个位置，然后把除号变成乘号就可以，没错，真的就这么简单，真的。

还是举个例子，8/9除以2/7，按照刚才说的口诀，把除数的分子和分母调换位置，成了7/2，然后把除号换成乘号，就成了8/9乘以7/2，分子相乘，得到56，分母相乘，得到18，结果是56/18。依照惯例，找到它们共同的约数，一般都是用2，3，5，7，11的顺序去试，在分别被2约分之后，得到28/9，看起来已经不能再次约分，所以这就是计算结果，但跟上一道题一样，还不是最终的标准结果，习惯上，会把它变成带分数：3又1/9。现在，这道题才算真正完工。

睡着的人就继续睡吧，他们的爸爸妈妈在天黑的时候会来找他们的，没睡着的，有没有兴趣跟我一起去院子里尝尝烤牛肉？嘿，文森特，你怎么突然醒了？还有强尼，擦擦口水再出去吧。

附录：还不错的电影们——4

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