抽屉原理及其简单应用

瑞安市实验小学  宋万永

一、知识要点
    抽屉原理又称鸽巢原理，它是组合数学的一个基本原理，最先是由德国数学家狄利克雷明确地提出来的，因此，也称为狄利克雷原理。
    把3个苹果放进2个抽屉里，一定有一个抽屉里放了2个或2个以上的苹果。这个人所皆知的常识就是抽屉原理在日常生活中的体现。用它可以解决一些相当复杂甚至无从下手的问题。
    原理1：把n+1个元素分成n类，不管怎么分，则一定有一类中有2个或2个以上的元素。
    原理2：把m个元素任意放入n（n≤m）个集合，则一定有一个集合至少要有k个元素。其中k＝m/n（当n能整除m时）或k＝〔m/n〕＋1（当n不能整除m时），这里〔m/n〕表示不大于m/n的最大整数，即m/n的整数部分。
    原理3：把无穷多个元素放入有限个集合里，则一定有一个集合里含有无穷多个元素。
   二、应用抽屉原理解题的步骤
    第一步：分析题意。分清什么是“东西”，什么是“抽屉”，也就是什么作“东西”，什么可作“抽屉”。
    第二步：制造抽屉。这个是关键的一步，这一步就是如何设计抽屉。根据题目条件和结论，结合有关的数学知识，抓住最基本的数量关系，设计和确定解决问题所需的抽屉及其个数，为使用抽屉铺平道路。
    第三步：运用抽屉原理。观察题设条件，结合第二步，恰当应用各个原则或综合运用几个原则，以求问题之解决。
   三、应用抽屉原理解题例举:
1.张叔叔参加飞镖比赛，投了5镖，成绩是41环。张叔叔至少有一镖不低于9环。为什么？（教科书P73  T2）

解答：这道题物体个数和抽屉都比较明显。成绩41环看作个数，5镖看作抽屉，列式为：41÷5=8……1    8+1=9

2．有9支球队进行比赛，已经赛了10场，那么总有一支球队至少赛了几场？

解答：有些题目物体的个数没有直接告诉我们。根据问题至少赛了几场，那我们要知道已经赛过的总的场次。根据已经赛了10场，每场2支球队，总场次应该是20次。这就是物体的个数。9支球队可以看作抽屉。根据今天所教的知识（原理2）我们知道20÷9=2……2，2+1=3

3.有红、黄两种颜色在下面的长方形格子中随意涂色，每个格子涂一种颜色。青青发现无论怎样涂，至少有两列涂法完全相同。请你先试一试，再说明理由。（作业本P29 T4）

解答：根据至少有两列涂法完全相同。我们要知道总的列数。这道题已经知道物体的个数是5列。但抽屉的个数却掩藏起来，我们需要根据排列知识找出抽屉的个数。已知颜色有2种，在一列的排列组合中有这么4种情况。（红红、红黄、黄黄、黄红）所以可以做成4个抽屉。用算式5÷4=1……1，1+1=2就说明问题。

4．任意写出5个非零的自然数，我能找到两个数，让这两个数的差是4的倍数。（作业本P29 T5）

解答：这题已经告诉我们物体的个数是5。但什么做为抽屉？要做几个抽屉却需要我们去构建。根据条件4的倍数，我们知道一个数除以4没有余数那就是4的倍数，在这些数中除以4的过程中会出现这四种情况（整除、余数是1、2、3）那就可以根据这四种情况做成四个抽屉。

5÷4=1……1，1+1=2；总有一个抽屉至少会有两个数。而同一个抽屉的两个数的差一定是4的倍数（根据同余定理）

5．把红、黄、蓝三种颜色的小棒各10根混在一起。如果让你闭上眼睛，每次最少拿出几根才能保证一定有 2 根同色的小棒？

（书本P73  T3）(把2该成4)

解答：这是抽屉原理进行逆向思维的例子，一共有三种颜色小棒，我们可以把三种颜色看成3个抽屉。要求最少拿出几根，就是求物体的个数。用式子表示A÷3=1……B，（因为要保证一定有2根，所以商是1。）相当于求除法算式中的被除数。当B=1时，A最小，等于1×3+1=4。

同样要保证4根话，商应该是3，所以算式是3×3+1=10

6．春秋旅行社组织游客去游览长城、故宫、鸟巢。规定每人最少去一处，最多去两处，那么至少几个游客才能保证有两个游客游览的景点相同？

解答：这道题也是逆向思维题，也是求物体个数。但抽屉数没有直接告诉我们。需要构建抽屉。根据条件“每人最少去一处，最多去两处”找出有几种情况才可以做成抽屉.(用A\B\C表示A、B、C、AB、AC、BC)共6种情况做成6个抽屉。那么需要物体的个数就是1×6+1=7

7．某校有55个同学参加数学竞赛，已知将参赛人任意分成四组，则必有一组的女生多于2人，又知参赛者中任何10人中必有男生，则参赛男生的人生为__________人。

    解：因为任意分成四组，必有一组的女生多于2人，所以女生至少有4×2＋1＝9（人）；因为任意10人中必有男生，所以女生人数至多有9人。所以女生有9人，男生有55－9＝46（人）