丢勒幻方

在蔡天新的讲座上，看到介绍丢勒的版画《忧郁》，后来在《数学圈》里看到介绍，觉得这幅画里出现的丢勒幻方真是神奇。

德国画家丢勒（Albrecht Durer，1471-1528）被称为一位“天生的几何学家”。他从意大利的艺术大师们那里学到了透视学原理，然后回到德国继续进行研究。他认为，创作一幅画不应该信手涂鸦，而应该根据数学原理构图。

有趣的是丢勒还喜欢数学游戏，他曾于1514年在著名的《忧郁》（Melencolia）这幅画中，

http://s3/middle/620db9d3xc6a92497f6c2&690

构造了一个4×4幻方。

http://s2/middle/620db9d3x7a441d418ad1&690

这个幻方满足了基本的各行，各列，各对角线相加之和相同（为34）的基本条件。同时，他还把这幅画创作的时间1514放在了第四行中。

当然，对这个幻方再作进一步研究，会发现更有趣的事

1、幻方中四个对角数之和等于中间四个数之和（和为34）

http://s13/middle/620db9d3x7a44217b144c&690

2、幻方中2*2式数字之和相同。 （和为34）
16+3+5+10=2+11+13+8=9+4+6+15=7+12+14+1
http://s3/middle/620db9d3xc6a93ef1a692&690

3、幻方中中第一行（列）2个数字与第三行（列）2个数字之和等于第二行（列）2个数字与第四行（列）2个数字之和 （和为34）

16+5+2+11=3+10+13+8=9+4+7+14=6+15+12+1

16+3+9+6=2+13+7+12=5+10+4+15=11+8+14+1

http://s4/middle/620db9d3xc6a93f03c4d3&690

4、幻方中前两行（列）数字的平方和等于后两行（列）数字的平方和。（和为748）

http://s13/middle/620db9d3xc6a9938d070c&690
16*16+3*3+2*2+13*13+5*5+10*10+11*11+8*8=9*9+6*6+7*7+12*12+4*4+15*15+14*14+1*1

16*16+5*5+9*9+4*4+3*3+10*10+6*6+15*15=2*2+11*11+7*7+14*14+13*13+8*8+12*12+1*1

5、幻方中第一行（列）和第三行（列）数字的平方和等于第二行（列）和第四行（列）数字的平方和。（和为748）

http://s6/middle/620db9d3xc6a9900dd5a5&690

6、对角线之数字之和等于非对角线数字之和 （和为68）

对角线数字平方之和等于非对角线数字平方之和（和为748）

对角线数字立方之和等于非对角线数字立方之和（和为9248）

http://s16/middle/620db9d3x7a441ee1a76f&690

多么神奇的丢勒幻方啊！

另，《忧郁》这幅画中还出现了各种数字对象，如球、圆规、直尺、比例尺、多面体。

爱好数学的画家伤不起啊，伤不起。

难怪， 达·芬奇（Leonardo da Vinci，1452-1519）说：

      能够真正欣赏我的作品的人，没有一个不是数学家

     那些不相信数学是极其精确的科学的人，是昏庸之辈，他们不可能澄清而只能日益加深诡辩中的矛盾