第十三卷第七章【1081a30—1081a34】，其实只是一个关于自然数列的问题。

再者，既然最初是一自身，然后是与其他数目上比为最先，与一自身相比在后的某个一，然后是第三个一，它对第二个一是第二，对第一个一是第三。所以单位要在它们由之被称谓的数目之先，这也就是说，在三存在之前，在二中将有第三个单位，在三中将有第四个、第五个单位，在这些数目存在之前。

Again, since the 1-itself is first, and then there is a particular 1 which is first among the others and next after the 1-itself, and again a third which is next after the second and next but one after the first 1,-so the units must be prior to the numbers after which they are named when we count them; e.g. there will be a third unit in 2 before 3 exists, and a fourth and a fifth in 3 before the numbers 4 and 5 exist.

ἔτι ἐπειδὴ ἔστι πρῶτον μὲν αὐτὸ τὸ ἕν, ἔπειτα τῶν ἄλλων ἔστι τι πρῶτον ἓν δεύτερον δὲ μετ' ἐκεῖνο, καὶ πάλιν τρίτον τὸ δεύτερον μὲν μετὰ τὸ δεύτερον τρίτον δὲ μετὰ τὸ πρῶτον ἕν, ‑ ὥστε πρότεραι ἂν εἶεν αἱ μονάδες ἢ οἱ ἀριθμοὶ ἐξ ὧν λέγονται, οἷον ἐν τῇ δυάδι τρίτη μονὰς ἔσται πρὶν τὰ τρία εἶναι, καὶ ἐν τῇ τριάδι τετάρτη καὶ [ἡ] πέμπτη πρὶν τοὺς ἀριθμοὺς τούτους.

吴译：又，因为“本１”为第一，于是在“本１”之后有一个个别之１先于其它诸１，再一个个别之１，紧接于那前一个１之后实为第三个１，而后于原１者两个顺次，——这样诸单位必是先于照它们所点到的数序；例如在２中，已有第三单位先３而存在，第四第五单位已在３中，先于４与５两数而存在。

这里又是一句我们几乎不这样说的话。

译文是说，在一个列数开端处有一个第一位的数就是一自身，吴译本称之为本1，现在有一个算术数1，在这个一自身之后还有一个1，如果在2之后，再有一个算术数1，其实就是第三个，这个1相对于第一个一自身已经是第三个了。后面甚至说到在三中还有第四个第五个单位，这又是什么意思，而且这些观点的出处正是从英文本来的，为此就必须分析一下原文了。

对于上面的这一层意思从希腊文本看，似乎并非完全如英文本说的那样。希腊文本说了这样的几个分句，就是相当于在解决这个问题时的几个步骤：

第一步：ἔτι ἐπειδὴ ἔστι πρῶτον μὲν αὐτὸ τὸ ἕν因为存在着一个最初的作为自身的一，

第二步：ἔπειτα τῶν ἄλλων ἔστι τι πρῶτον ἓν δεύτερον δὲ μετ' ἐκεῖνο按照顺序给予在这个最初的一之后包含着那个于其中的第二位的，对一个数能够给予什么呢，当然只是一个数，也就是说在这个最初的一自身之后先出现了一个一自身，再给予一个，那么就应当是2了。

第三步：καὶ πάλιν τρίτον τὸ δεύτερον μὲν μετὰ τὸ δεύτερον τρίτον δὲ μετὰ τὸ πρῶτον ἕν再重新来一次上述的过程。当2形成之后，在它后面也会出现一个具有第二个自身的东西，也给予它一个东西，当然也是数1，那么在二个单位的数上再加一个1就成了三，它应当是在第一个之后的第三位上。

希腊文本继续说下去，就是第四步：ὥστε πρότεραι ἂν εἶεν αἱ μονάδες ἢ οἱ ἀριθμοὶ ἐξ ὧν λέγονται所以当我们点到的这个数的前一位就是这个数的单位。大概就是指，我们点到2，那么它的单位就是前面一个一，然后给予一个东西，当然就是个数字1，就得到了2，其余可以类推。

第五步：οἷον ἐν τῇ δυάδι τρίτη μονὰς ἔσται πρὶν τὰ τρία εἶναι按照上面的规则，那么在第三个数之前，即在二中就应当存在了第三个数的单位了，这个单位应当就是二，二再加上给予的一个数就是三。所以这一句话中出现了一个非常混淆的词汇，就是第三个，英文的a third unit。从希腊文本中看应当是说在二里面已经存在了可以作为第三个数的单位了，但从英文的a third unit转译成中文的，如苗译本中的“在二中将有第三个单位”就糊涂了，这里说的“在二中存在着第三个单位”的意思似乎是说在二中间有三个单位，一个数二，怎么会有三个单位呢，如果说二里面有两个一，那么也只有两个单位啊。其实这里说的在二中存在着第三个单位，应当指在二中存在着第三个数的单位，只要在二上加一，就成了三。搞清这一个概念，那么后面说的四个五个就容易理解了。

第六步：καὶ ἐν τῇ τριάδι τετάρτη καὶ [ἡ] πέμπτη πρὶν τοὺς ἀριθμοὺς τούτους说在三中有第四个第五个单位，如果将上面“第三个”想成在二之中有三个单位的话，那么在三之中怎么会有第四第五个单位呢。现在我们这样来解释，在二之中存在着数列上第三个数的单位，所以二加上一就是三，那么在三中应当存在着数列上第四个数的单位，就是存在着数三，三加上一就成了四，也可以换个说法，说在三之中存在着数列上第五个数的单位，因为三加一再加一就是五。

对于这一句话，我们比照原文，发现希腊原文因为简单，所以在二千五百年后我们不大容易理解了，但译文则由于说不清，说句坏话，就是翻译的人也没有搞清楚这里的问题，结果就给我们的理解带来了很大的麻烦。

当我们将这一句话理顺之后，却发现其中的意思非常简单，可以说是中学代数课程的入门之说。就是指自然数列是从1开始的一个无穷数列。无穷是我们说的，古希腊人知道可能会出现无穷的现象，但他们不喜欢无穷这样的一种不确定的概念，真正能够说是无穷的大概就是无限发散的数列了，自然数列就是这样的一个例子，但在日常应用的自然数列中我们并不需要涉及到它的无限发散性。在这个自然数列中后一项比前一项多一。就是这么一回事，但要理解这一句子却化费了不少的功夫。

那么我们这样将这句话理解成自然数列的一个增加一的递进规则，对不对呢，自以为这样理解最能解读这句话的意思了，但这里却产生了一个问题：单位是什么，对“二”来说，一当然是单位，那么对“五”来说它的单位是四吗，或者是三吗，从上述解释中是可以得出这样的推论的，这也确实是一个问题。在这里有一个可能在后面还要用到的观点，似乎说，每一个数都是以前面一个为单位的，这样一是二的单位，二是三的单位，七是八的单位。这是一种与我们的表述方式完全不同的观点，我们说单位就是按照数学数的方式，单位就是一。

因为从现代的代数观点来说，在自然数列中后项比前项大一，就是这个递增的等差数列的公差为一，这里根本用不着什么单位μονάδες这样的概念，因为一作为单位早就是数学中的一个“潜规则”了，到开始学数列问题时，根本用不着再提出这个潜在问题了。但是在这里说这个问题时，却又无法回避这样的问题。

我们前面指出，单位是什么，对“二”来说，一当然是单位，那么对“五”来说它的单位是四吗，或者是三吗，从上述解释中是可以得出这样的推论的。从这句话的意思可以看出一点，就是古希腊人说的数学数或者理念数，这只是古希腊人的数学思想，与我们现代的观念并不对应。我们现代对自然数在应用时有两种形式，一种是基数，就是以一为单位，每一个数就是若干个单位，一是单位，一个自然数3就是三个一构成，自然数N则由N个单位构成。一种是序数，就是规定从0开始，每一个数中都包含了前面所有的单位，就是若有一个序数为ω，那么ω的下一个序数是ω+1，通俗地写作{0，1，2，…，ω}。

我们在分析古希腊的数学问题时，认为毕达哥拉斯的数相当于现代人说的基数，柏拉图的理念数相当于现代人说的序数，其实这也是一种比喻，大致上可以这样理解而已。从亚里士多德的句子来分析，他认为的数就既不是现代的基数也不是现代的序数。亚里士多德在这里说的观念就是指这样的一种思想：

首先存在着一个最初的作为自身的一，按照顺序给予在这个最初的一自身之后的数是先出现了一个一自身，再给予一个，那么就应当是2了。当2形成之后，在它后面也会出现一个具有第二个自身的东西，也给予它一个东西，当然也是数1，那么在二个单位的数上再加一个1就成了三，它应当是在第一个之后的第三位上。按照上面的规则，那么在第三个数之前，即在二之中就应当存在了第三个数的单位了，这个单位应当就是二，二再加上给予的一个数就是三。如果将上面“第三个”想成在二中有三个单位的话，那么在三中怎么会有第四第五个单位呢。现在我们这样来解释，在二之中存在着数列上第三个数的单位，所以二加上一就是三，那么在三中应当存在着数列上第四个数的单位，就是存在着数三，三加上一就成了四，也可以换个说法，说在三之中存在着数列上第五个数的单位，因为三加一再加一就是五。

那么这一段生成数的过程就很有特色了，亚里士多德的这一段话是介于数学数与理念数之间的一种解释。

若有一个数，譬如说是五。从数学数的角度毕达哥拉斯将这个五解释为由五个单位一构成的数，从理念数的角度柏拉图认为每一个数都是自身的单位，数字五就是由单位五构成。毕达哥拉斯认为只有一个单位，就是单位一，任何数目都是若干个单位一所构成，柏拉图认为每一个数自身就是单位。

那么亚里士多德在这里的解释则具有双向发展的可能性。譬如一个数目五，五的前一个数是四，参照数一是数二的单位，那么四可以理解成是五的单位。亚里士多德的特殊点就在这里，说四是五的单位，这在数学数与理念数两派都可以接受，对毕达哥拉斯来说他可以理解四是由四个单位所构成的，现在相对于五，这个由四个单位一构成的四可以说是五的单位，再加上一，就成了五个单位构成的五了。对柏拉图来说他可以理解五是由四这个五的单位与单位一，这两个数构成，这就形成了“未定之二”的关系。但在柏拉图看来，这个作为五的单位的四，本身是由四的单位三与单位一构成，三则由三的单位，即单位二与单位一构成，从而说明五是由此前所有的单位一起构成。

亚里士多德的这个观点是远离了毕达哥拉斯的数学数却靠近了柏拉图的理念数，这是一种中间解释。虽然亚里士多德并不认同柏拉图的理念数。