先简单介绍一下《九章算术》的基本情况。

《九章算术》为《算经十书》之一。唐代国子监设算学馆，置博士、助教。唐高宗时规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部古代著名数学著作作为国家最高学府的算学教科书，后世通称为《算经十书》。

这十部算书，以《周髀算经》为最早，它是“盖天说”的天文著作，其中记载了用勾股定理进行的天文计算，还有比较复杂的分数计算。《海岛算经》是利用标杆进行两次、三次乃至四次测量来解决各种测量数学的问题。《孙子算经》中的“物不知数”问题（一次同余式解法），《张丘建算经》中的“百鸡问题”（不定方程），《缉古算经》中的三次方程解法，特别是用几何方法列三次方程的方法都是重大的数学成果。《缀术》在唐宋之际失传了，宋人用当时的另一部算书《数术记遗》来充数。记载了祖冲之关于圆周率的计算。

对古代数学的各个方面有全面完整记载的是《九章算术》，它是十部算书中最重要的一部。它对以后中国古代数学发展所产生的影响，正像古希腊欧几里得《几何原本》对西方数学所产生的影响一样，是非常深刻的。全书共分九章，一共搜集了二百四十六个数学问题，连同每个问题的解法，分为九大类，每类一章。从数学成就上看：书中记载了当时世界上最先进的分数四则运算和比例算法。还记载有解决各种面积和体积问题的算法以及利用勾股定理进行测量的各种问题。《九章算术》中最重要的成就是在代数方面，书中记载了开平方和开立方的方法，并且在这基础上有了求解一般一元二次方程的数值解法。还有整整一章是讲述一次联立方程解法的，这种解法实质上就是克莱姆法则，这和现在中学里所讲的方法是一致的。还在世界数学史上第一次记载了负数概念和正负数的加减法运算法则。

因为《九章算术》是最全面反映古代数学的书，所以不妨从中举几个实例观察一下《九章算术》的大致面貌。

1、第一章的第一、二两题：（一）今有田广十五步，从十六步。问为田几何。答曰：一亩。（二）今有田广十二步，从十四步。问为田几何。答曰：一百六十八步。方田术曰：广从步数相乘得积步。以亩法二百四十步除之，即亩数。百亩为一顷。（今译：1.有一块宽15步，长16步的矩形土地，求这块土地的面积是多少？答：1亩。2.有一块宽12步，长14步的矩形土地，求这块土地的面积是多少？答：168平方步。求矩形面积的方法：将以步为单位的长与宽的数值相乘，即得到以平主步为单位的面积。以1亩=240平方步的进率可换算成以亩为单位的面积。又，100亩=1顷。）

2、第一章第十一题：（十一）四分之三，减其三分之一。问余几何。答曰：十二分之五。减分术曰：母互乘子，以少减多余为实，母相乘为法，实如法而一。（今译：11.有两个分数3/4和1/3相减，求它们的差是多少？答：5/12。分数减法的方法：分别一个分数的分子与另一个分数的分母相乘，以大的乘积减去小的乘积所得的差为被除数，把分母相乘的积作为除数，若实与法相等就为1。）

3、第一章二十一题：（二一）又有田广五分步之四，从九分步之五。问为田几何。答曰：九分步之四。乘分术曰：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。（今译：21.有一块矩形土地宽4/5步，长5/9步，求土地的面积是多少？答：4/9平方步。分数乘法方法：以分母相乘为除数，分子相乘为被除数，被除数与除数相等则为1。）

4、第三章第二题：（二）今有牛、马、羊食人苗。苗主责之粟五斗。羊主曰：“我羊食半马。”马主曰：“我马食半牛。”今欲衰偿之，问各出几何。答曰：牛主出二斗 八升七分升之四。马主出一斗四七分升之二。羊主出七升七分升之一。术曰：置牛四、马二、羊一，各自为列衰，副并为法。以五斗乘未并者各自为实。实如法得一斗。（今译：2.有牛、马、羊吃了别人的青苗，苗主人要索赔5斗粟。羊主人就我的羊吃的只是马的一半，马主人说我的马只吃了牛的一半。现在要按这个比率赔粟，问每人各出多少？答：牛主人出2斗8又4/7升，马主人出1斗4又2/7升，羊主人出7又1/7升。方法：设牛、马、羊的分配比率分别为4、2、1，将经率相加作除数。以5斗粟乘各个经率后分别作为被除数。除数和被除数相等则为1斗。）

5、第四章第十八题：（十八）今有积三百步。问为圆周几何。答曰：六十步。开圆术曰：置积步数，以十二乘之，以开方除之，即得周。（今译：18.有一个面积为300平方步的圆，求它的圆周长是多少？答：圆周长为60步。求圆周长的方法：将面积数乘12后开方即得。）

6、第五章第十二题：（十二）今有棱锥，下方二丈七尺，高二丈九尺。问积几何。答曰：七千四十七尺。术曰：下方自乘，以高乘之，三而一。（今译：12.有一个棱锥底边长2丈7尺，高2丈9尺，求它的体积是多少？答曰：它的体积为7047立方尺。求棱锥体积的方法：底边长自乘，再乘以高，除以3，即得体积。）

从这几道题就可见246道题以及《算经十书》的大致面貌了，它由题目、答案、方法这三部分构成的一本习题汇编集，所有的题目都是实用问题。

这是唐代大学的数学教材。论程度，按现在的标准来看，都是小学到中学的课程内容。其中整数与分数的四则运算是小学数学内容。解代数方程为主的代数知识是初中内容，面积计算是小学与初中内容，各种立体计算是高中立体几何中的内容。不过在唐朝这可是世界顶级的数学知识了。一个或几个题目就是一个方法，而且都是非常现实的问题，书中还有各种粮食的交换率、出米率、征用劳役等实际问题。

（下转笔记0027《九章算术》与现代的数学（下））