1、三角形

     假定三角形T，三个顶点分别为 http://upload.wikimedia.org/math/a/9/c/a9c18d9b33d558a2134b32c0dc12ecaa.png , http://upload.wikimedia.org/math/4/1/1/411297079fcaa9b1da6ba6b045b495bf.png 和 http://upload.wikimedia.org/math/e/b/9/eb9763b9f2595f68c9337123c41293f7.png ，这个三角形内（包括边）的任何点，都能表示成这三个顶点的权重和。例如：

http://upload.wikimedia.org/math/f/2/3/f237c599fda796e1b6d2e2587f58d69a.png

 

这儿 http://upload.wikimedia.org/math/4/d/9/4d90a00dc79023bb097a76015c2df9cb.png , http://upload.wikimedia.org/math/2/f/2/2f2bfa5c506aa078634b0a3dedd7102e.png 和 http://upload.wikimedia.org/math/e/8/4/e84af5786fb000cf9a64c6fb5a1945b9.png 是面积坐标，同时有约束条件： http://upload.wikimedia.org/math/f/3/9/f39a2457d896fa8275a05e7b7a77db25.png

我们用（x，y）坐标形式来表示http://upload.wikimedia.org/math/a/9/c/a9c18d9b33d558a2134b32c0dc12ecaa.png, http://upload.wikimedia.org/math/4/1/1/411297079fcaa9b1da6ba6b045b495bf.png 和 http://upload.wikimedia.org/math/e/b/9/eb9763b9f2595f68c9337123c41293f7.png ,则有：

http://upload.wikimedia.org/math/b/e/4/be4c4d7ebd724d5d29a5c81c1275aaef.png

代入 http://upload.wikimedia.org/math/9/8/b/98bac53d7275e231237b905adb2c76db.png ，则有

http://upload.wikimedia.org/math/a/3/6/a3688a43d1ebe39db1a16fe596ad0f40.png

变化等式有

http://upload.wikimedia.org/math/8/6/a/86a453723463219aadced1f1f3abe946.png

可以把这两个式子表示成矩阵的形式：

 

http://upload.wikimedia.org/math/7/7/3/773e925ff998ad044d65e5765b9f6cb1.png

 

         http://upload.wikimedia.org/math/2/e/e/2ee00a4cbfed9da24b65a4d80034c654.png

  注意：矩阵 http://upload.wikimedia.org/math/1/6/e/16e1484b7f7eb511e6c3192e9113fe0a.png 是可逆矩阵，因为 http://upload.wikimedia.org/math/d/3/0/d306f018d83d22725a80a32c5c1ddcb5.png 和 http://upload.wikimedia.org/math/2/d/8/2d897ebcb9d41c88f057c8aa59c02489.png 线性无关(否则的话， http://upload.wikimedia.org/math/1/1/9/119e1f6097a3349dd38451b42ee2e6dc.png , http://upload.wikimedia.org/math/0/b/1/0b14898e3e4807499c39b4fcfb5be683.png , 和 http://upload.wikimedia.org/math/b/8/5/b854c5d25aaf95ed6f32e851961fe8e3.png 共线，不能形成一个三角形)。

  所以，等式可以转化为：

http://upload.wikimedia.org/math/6/e/2/6e20af4cb2295c9b110d12868748ab88.png

       最后可以求得：

http://upload.wikimedia.org/math/2/6/7/267ee50ea2fccec152ff79b413aeb7d8.png

http://upload.wikimedia.org/math/c/5/5/c5572ecdbd74d051d6ddd10ed01e7d72.png

http://upload.wikimedia.org/math/9/0/0/90060657e689cbcf64a06ed1648f75a1.png

2、四面体

      在四面体的情况下，有类似于三角形的公式：

http://upload.wikimedia.org/math/f/9/a/f9a10f27b3c014678c8e81f0b76fc73b.png

  这儿 http://upload.wikimedia.org/math/5/3/7/5371fbc9a1a509110366ce115ba86848.png 是一个 3×3 矩阵:

http://upload.wikimedia.org/math/6/9/5/69566fecc59d167be181ce42d4ead47a.png

  解这个方程我们可以得到四面体的重心坐标（别忘了四个重心坐标和为1）。