假定四面体的四个顶点为：

        V1 = (x1, y1, z1)
        V2 = (x2, y2, z2)
        V3 = (x3, y3, z3)
        V4 = (x4, y4, z4)

你测试的空间点为：

        P = (x, y, z)

如果下面的5个行列式有相同的符号，则点P在四面体内：

             |x1 y1 z1 1|
        D0 = |x2 y2 z2 1|
             |x3 y3 z3 1|
             |x4 y4 z4 1|

             |x  y  z  1|
        D1 = |x2 y2 z2 1|
             |x3 y3 z3 1|
             |x4 y4 z4 1|

             |x1 y1 z1 1|
        D2 = |x  y  z  1|
             |x3 y3 z3 1|
             |x4 y4 z4 1|

             |x1 y1 z1 1|
        D3 = |x2 y2 z2 1|
             |x  y  z  1|
             |x4 y4 z4 1|

             |x1 y1 z1 1|
        D4 = |x2 y2 z2 1|
             |x3 y3 z3 1|
             |x  y  z  1|

需要注意的一些情况:

• 如果正好 D0=0, 则该四面体是退化的四面体(比如退化成三角形，此时四点共面)。
• 如果 Di=0(i 不等于0)，则P位于四面体的边界面i上 (边界面i是指和Vi相对应的其它三个顶点形成的面)。
• 如果Di的符号和D0不同，则Di位于边界面i的外边。
• 如果所有Di的符号都和D0相同，则P 位于边界面i之内(在四个边界面内，就是在四面体之内)。
• 等式D0 = D1+D2+D3+D4成立。
• 这个公式能够扩展到任何维的单纯形 (在2D情况下是三角形，在3D情况下是四面体)。
• 注意：bi = Di/D0 就是通常的重心坐标。
• 注意：比较Di 和D0的符号仅是判定P和Vi是否在边界面i的同一边。