小学“数的运算”数形结合教学策略研究

金华市东苑小学    方晓晗

摘要：数形结合是指结合数量关系的符号形式与空间形式，分析、研究和解决问题的数学思想和策略。研究根据小学生思维发展规律，提出在数与代数低、中、高三个教学阶段渗透数形结合思想的三种策略，即低段数的运算教学中，重点感悟数形结合思想：包括观察中感悟数与形的结合，在操作中体悟数形结合的策略，在联想中领悟数形结合的方法；中段数的运算教学中，重点进行数形结合思想的提炼升华：包括挖掘教材-提炼思想，运用思想-解决问题，升华思想-培养素养；高段数的运算教学中，重点引导数形结合的灵活运用：包括运用数形结合思想-帮助理解数量关系，运用数形结合思想-帮助建立数学模型，感知函数思想-帮助中小数学衔接。通过教学，学生在数学学习中体验数形结合思想，最终自觉地运用数学思想解决生活中的数学问题。

关键词：小学数学  数与代数  数形结合  思维发展  教学策略

古代就有数学家引进几何问题代数化的方法，巧妙地将几何中的图形特征描述成代数关系从而使问题得以解决。做为数学重要思想方法，数形结合体现了数学鲜明的学科特点，是数学研究常用的方法。数学课程标准修订版要求将几何直观贯穿整个数学教学始终，小学阶段积极培养学生数形结合能力是当前小学数学教学与研究的重要主题。

数形结合是指结合数量关系的符号形式与几何图形形式，分析、研究、解决问题的数学思想和策略。“数”主要指数、数量关系、运算式、函数关系式、方程等，“形”主要指几何图形（包括它的形状和大小）和直角坐标系下的函数图像（包括它发展的趋势、增长的快慢、弯曲程度等）。基于这样的理解，我们发现小学数学各个领域中都有数形结合思想的渗透，本文重点研究“数与代数”领域中的“数的运算”部分数形结合的教学策略。

为了研究起来更具科学性和针对性，我们对课程“数与代数”领域中的“数的运算”部分中，涉及数形结合思想的教学内容进行了梳理与研究。

 

小学“数的运算” 数形结合课程设计

 

年级	一	二	三	四	五	六
内容例举	一上 加法的初步认识    1+3=4	二上 6的乘法口诀   一排有6个，2排有几个？3排呢？	三上 一位数乘整十、整百数   20×3=？	四上 三位数乘两位数   114×21=？	五上 异分母分数加减   1／2+1／4=？	六上 百分数的应用   冰的体积比原来少了百分之几？
	一下 整十数相加减 20+30=？	二下 两位数除以一位数的笔算除法 出示：实物20个苹果，每盘放5个苹果，20个可以放几盘？	三下 两位数乘两位数 出示信息：每层放14本，共12层，150本放得下吗？讨论14×12=？	四下 小数的乘法 0.2×4=？	五下 分数混合运算	六下 正比例和反比例
数形结合教学策略	一年级数的运算部分并没有实际意义上数与形相结合，更多的是用一些直观化的手法来理解算式的意义。但是为数形结合思想的渗透作了很好的铺垫。	二年级开始用长方形等几何图形来理解乘法的意义，渗透数形结合思想。	三年级开始的整数运算对学生来说已经有一定得知识基础，教材基本上借助推理与知识迁移来理解算理，渗透数形结合思想的地方较少。	整数乘法对三年级学生来说已经比较熟练，但是小数乘法的意义对学生来说还很抽象，教材在处理这部分内容时渗透了数形结合思想。	分数除法、分数混合运算等计算课都是与解决问题结合在一起的，在解决分数的应用时，教材借助几何图形来体现数与形的关系，渗透数形结合思想，从而理解算式的意义。	百分数的运算更加紧密地与解决问题结合在了一起，在解决这一类问题时，教材借助线段图沟通数与形的联系，从而建立这类问题的模型。
学生 思维特点	具体形象思维为主	具体形象思维为主	由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡	由具体形象思维向抽象逻辑思维过渡	抽象逻辑思维	抽象逻辑思维

 

 

从教材的编排看：数学知识的呈现逐渐由借助直观形式过渡到知识的迁移与推理；从学生的思维特点看，他们正从形象思维逐步过渡到抽象逻辑思维；从数形结合的渗透情况看，教材注重由低段的感悟数形结合思想逐步到高段能够运用数形结合解决问题。我们所思考的是：能否在尊重学生思维发展规律的基础上，充分挖掘教材中隐含的数形结合思想，以数的运算为载体，使学生在数学学习中体验数形结合思想，最终自觉地运用数学思想解决生活中的数学问题。笔者结合自身实际进行了以下的探索：

一、         低段数的运算教学中，数形结合思想的感悟体验

 

布鲁纳指出：“当儿童处于运算阶段时，他们能够自觉地、具体地掌握数学等学科的许多基本概念，然而，如果有人硬要对他们对已经在做的工作进行正式的学习描述，他们将心慌意乱。”从此看出低年级学生的思维处在具体形象思维为主，逻辑思维开始萌芽的阶段，数学学习中更多的是借助图形语言来理解数量关系，掌握概念、理解算理。让我们先来看一则案例：乘加（减）混合运算

第一环节：借助数形结合思想，初步感知运算意义

 

         

             

（1）    提问：你知道一共有几个方块？能用算式表示吗？

（2）    学生汇报出现以下算法：2×6＋5=17，6+6＋5=17，3×5＋2=17

（3）    结合图形说说每道算式先算什么再算什么？表示什么意思？

第二环节：渗透数形结合思想，建立数学模型

（1）当学生出现3×6-1=17这种方法时教师立即用课件显示：

 

（2）结合图形，说说3×6表示什么意思？（表示每排有6个，3排就有18个）

（3）为什么要再减去1呢？（因为添上一块才变成3排，要把添上的1减去就剩下17）

第三环节：整理算式，总结运算顺序。

书本上是以小熊买4个面包和一瓶饮料应付多少钱引出乘加问题的，但4个面包没有具体的实物支撑，学生理解起来比较困难。考虑到学生这一阶段形象思维的特点，教师将主题图改为了“立体图形”，借助数形结合理解了先乘除后加减这一运算顺序的合理性，总结运算顺序也变成了水到渠成。因此，我认为在低段数的运算教学中通过训练操作能力、观察能力、联想能力丰富对形的认识很重要：

1、观察中感悟数与形的结合

观察是学生操作、比较、联想、类比、推理等高级思维活动的基础，是学生获取知识的开始。为了给中高年级数形结合思想的运用奠定良好的基础，教师在低年级就应该有意识地让学生观察数与形之间的联系。如：如在教学100以内进位加法时，教师通过课件演示28根小棒加72根小棒两次满十进一的过程使学生理解相同数位对齐、满十进一的道理。通过多媒体教学，既充分展现数与形之间的内在关系，又激发了学生的好奇心和求知欲，为培养学生数形结合的兴趣提供了可靠的保证。

2、操作中体悟数形结合的策略

心理学家皮亚杰说：“儿童的思维是从动作开始的，切断动作与思维的联系，思维就不能得到发展。”可见学生的动手操作，也能丰富对形的感悟。因此，教师在低年级教学时就应该注重观察能力的培养，使学生能够根据不同的问题采用不同的方法进行解决。比如：一年级下册第55页练习五第二题：小熊：我从家出发，已经走了35米，这时看到路标上写着离学校55米，问：小熊家离学校有多少米？当时第一个班的学生基本会列35+55=90（米），但是他们不能清晰地解释为什么要两个数相加。于是在另一个班级进行教学时，先让学生在桌子上用笔表示小熊，按照小熊的路线走一走，走到路标处，就告诉同桌：我已经走了35米，离学校还有55米。接着让学生想象整条路线，你能将它画出来吗？根据学生的提示教师在黑板上画出简单的路线图，为什么55+35=90（米）的问题就迎刃而解了，重要的是学生在观察、操作中体验领悟到了数形结合的策略。

3、联想中领悟数形结合的方法

联想是问题转化的桥梁，是一种自觉的和有目的的想象，是由当前感知或思考的事物，想起有关的另一事物，或由此再想起其他事物的心理活动。培养学生联想能力，对提高学生数形结合能力，有较大的作用。比如：一年级下册第32页的第三题可以稍加修改：小明家、学校、少年宫同在一条笔直的路旁，小明家到学校42米，学校到少年宫35米，小明家到少年宫一共多少米？教师在黑板上画出公路，学生想象3个地点可以怎样安排？你觉得路线图是怎样的？通过联想、操作，感受数与形的密切联系，领悟数形结合的方法。

二、中段数的运算教学中，数形结合思想的提炼升华

 

三四年级的学生已经具备初步的逻辑思维能力，但仍以形象思维为主。从之前的表格看出教材在三、四年级数的运算教学中已经逐渐借助推理与知识迁移来完成，很少渗透数形结合思想，假如教师能够挖掘、创造条件渗透数形结合思想，那么将更符合儿童的思维发展规律。还是让我们先来看一则案例：三年级下册《连除》

第一环节：创设情境，初步感知运算意义

（1）出示主题图：

 

提问：书店进来了400本新书，现在要将这些书平均放在两个书架上，平均每格放多少本呢？

（2）谁来说说从图中看到了什么？能解决吗？

（3）学生独立列式计算。

（4）汇报结果：400÷2÷4=50(本)，400÷4÷2=50(本)，400÷（2×4）=50(本)

第二环节：渗透数形结合思想，建立数学模型

            

（1）    如图，400÷2=200，表示每个书架放200本书，200÷4=50

（2）    其他两种方法也用同样的数形结合的方法进行解决。

第三环节：运用数形结合思想，形成解决策略

（1）出示问题：松鼠两天要吃24个松果，平均每只松鼠每天吃几个松果？（松鼠用○代替）

（2）学生独立解决问题，鼓励学生说一说画一画或其他方式解决实际问题.

（3）    有了前面的铺垫，在教师的引导下部分学生能够借助结合模型来理解这类问题的本质特点了。

（4）    根据学生的方法，配合课件解决问题，24÷3÷2=4（个），先算24÷3=8（个），表示每只松鼠吃8个松果，再算8÷2=4（个），表示每只松鼠每天吃4个，如图：

     

……

这则案例中，因为“买新书”这个模型与连除问题的数学模型有着十分相似之处，因此教师将书中的主题图变成了两个书架，并提出连除问题：400本新书买来平均放在两个书架上，平均每格放几本？根据学生的回答，得到三种解决问题的策略400÷2÷4=50（本），400÷4÷2=50（本），400÷（2×4）=50（本），试图在这一环节借助书架模型让学生隐约感觉到这类问题的本质。到了练习的时候又借助数形结合思想，顺理成章地使学生借助数形结合思想理解连除问题的数学模型。像这样充分挖掘教材中的数学思想方法，将数形结合思想巧妙地渗透在了连除问题的教学，无形中展现了数学学习的价值，其高屋建瓴的教学指向是普通教学方法无法比拟的。因此，我认为中段教学中的数形结合教学可以这样开展：

1、提炼思想，挖掘教材

小学数学教材体系包括两条主线，其一是数学知识，这是写在教材上的明线；其二是数学思想方法。数学思想方法往往是隐含在数学知识当中，限于篇幅，小学教材的文字说明很有限，有些东西，虽不言明，但要求教师领悟。所以教师必须深入钻研教材，对各部分教材的编排意图和知识结构，对知识的展示方式，其中蕴含了哪些方法和规律，体现了哪种数学思想，都要仔细推敲，认真揣摩。如：二年级上册《乘法》这一单元的编排，第一课时：《乘法的初步认识》中的课后第三题是：数一数，有几个方格？

第三课时：《有几块积木》中情境导入是这样的：出示一幅5排，每排7个积木的几何图形，问：一共有几块积木？还有第四课时：《动物聚会》中的“说一说”环节出现了方格图，问：结合这个图，说说2×3表示什么意思？这些例子无部说明了数形结合思想在教材编排中的重要地位。教师要善于挖掘教材的编排意图，渗透数形结合思想，真正让学生在小学中段就能运用数形结合的思想。

2、运用思想，解决问题

在理解数量关系时，我们应充分挖掘由数量关系所反映出来的数形结合思想，放手让学生动手操作、猜想、画图，自觉地运用数形结合思想解决实际问题。刚开始学生不一定喜欢用这样的方法来思考问题，因为那样比较麻烦，怎样让学生学会用数形结合的思想解决问题还靠教师在日常教学中分步骤分阶段地落实。

3.升华思想，培养素养

教材在五、六年级的解决问题教学中经常运用线段图来帮助学生理解和分析数量关系，但在实际操作中却发现高年级学生运用数形结合思想解决问题的意识和能力不强。在解决:东山乡今年苹果大丰收，产量达到3.6万吨，比去年增产了两成，东山乡去年苹果的产量是多少吨？这样的问题时，难以理解其中的数量关系，当建议他们用图画出题目意思时，显得比较困难，存在画图画不到点子上的问题，可见中段教学中教师就应该抓住契机引导孩子使用数形结合的方法来解决问题，反复强化、及时总结，用数形结合思想武装学生，不断升华数形结合思想，使学生真正成为数学的主人，从而培养学生的素养，为高段的学习打下基础。

 

三、     高段数的运算教学中，数形结合思想的灵活运用

 

中高年级学生逻辑思维能力已有一定程度的发展，但是整个小学阶段学生的思维总是更多的带有形象思维的成分，为了使学生更直观地理解知识，同时又满足学生逻辑思维能力的发展，我认为数形结合思想的渗透应逐步过渡到先“数”后“形”，把形象真正放在“支撑”地位，从而为培养学生的逻辑思维能力而服务。

还是请大家先看一则案例：五年级下册《相遇》

1.出示：

 

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女生有？人

 

           合唱队男生20人     

2.学生自由提问，解答。

3.教师从问题中选择一个或教师出样的问题进行解决：

合唱队有男生20人，是女生人数的2／5，女生有几人？

4.小组汇报，全班交流：

生1：我们组认为应该是20×2／5＝8人

生2：我们觉得如果用乘法的话变成女生人数少了，而题目的意思是男生占了全部女生的2／5，所以我们用除法，20÷2／5＝50人。

生3：是的，我们组也是这样列的，我们还验证了50×2／5＝20人，也就是女生的2／5就是男生的20人。

生4：我用的是画图

女 生：

男 生：   

男生20人，20除以2等于10，女生的1份是10，5份就是50。

师：那你们所刚才的8人与50人同意哪个？为什么这里不用乘法做了呢？

   生：老师，通过线段图就知道除法是对的。

……

如果一开始就让学生画图，我想学生肯定不会走歪路，直接就能列出20÷2×5＝50（人）这样的算式。但这样一来，学生解决问题的思路就被限制了，发散思维能力就得不到发展了。教师这样让学生的思维先发散再集中，并用画线段图的方法来验证计算方法的过程能够较好地培养学生的思维的灵活性，同时感受到了数形结合思想带来的益处。五六年级突出了借助数形结合思想来解决实际问题，更注重一种方法和策略的形成，但是教师除了解读教材的这方面意图外，还应尊重学生的学习实际和思维发展的规律，不能唯教材是从，因此，我认为高段数形结合思想的渗透可以这样进行：

1、运用数形结合思想，帮助理解数量关系

数学思想方法的渗透的最终目标是指导学生能利用该思想解决一系列的数学问题甚至其他问题。教材也十分注重培养学生的这种能力，教材在五年级上册《相遇》一课中首次出现了线段图，接着在五年级下册的《分数混合运算》（稍复杂的分数应用题）、六年级上册《百分数的应用》中都借助线段图来分析数量关系。像这样的例子很多：下面的分数应用题中：小刚家今年9月份用水12吨，比八月份节约了1/7，八月份用水多少吨？ 我是这样做的：告诉学生第一步找单位”1”,第二步在单位1的量下面标数量或者X，三通过画线段图建立数量关系，四列式计算。如果单位1是具体的数量列的是算式，如果单位1是未知的则列方程。这样一来学生的正确率挺高的，而且理解了数量关系。

2、运用数形结合思想，帮助建立数学模型

教学中既要照顾到形象思维发展较好或较强的学生；也要照顾到逻辑思维发展较快或较优的学生；同时也不要忘记这两种思维能力的发展都较差的学生。解决问题时能直接列算式的同学直接列（小部分同学），其他同学可以选择自己擅长的方法，基础较弱的学生可以先画线段图，再抽象出一般的数量关系，建立起相应的数学模型。基础教好的学生可以先列算式再用线段图进行验证。总之。避免老是停留在作图分析上影响后继学习及逻辑思维的发展。

3、感知函数思想，帮助中小数学衔接

教材从四年级上册就开始就在《负数的认识》中出现了数轴，之后在《分数的再认识》、《小数的再认识》中也经常出现，在四上的《确定位置中》首次出现了直角坐标系，之后在《正、反比例》的教学中又较为系统地接触了直角坐标系。教材这样编排，不仅为了学生理解知识本身的意义，更重要的是从始至终都在渗透数形结合的思想，为今后学习函数打下基础。因此教师在教学中要特别注重这一知识块的教学。

总之，数学是研究数量关系、空间形式及其关系的学科，通过数形结合的方法研究问题，可以让数量关系与图形的性质的问题很好地转化，通过几何直观可以帮助学生建立数的概念，可以帮助学生理解数运算的意义，可以使解题思路与过程具体化。数形结合思想可以说涉及到数学学科的各个领域，本文只是重点表达了在数与代数领域数形结合思想渗透的一些个人想法，今后还有很多这方面的课题值得研究。

参考文献

[1]钱佩玲.中学数学思想方法[M].北京师范大学出版社，2004

[2]R.柯朗.什么是数学[M].复旦大学出版社，2005

[3]成尚荣.会数学地思维[M].江苏教育出版社，2006