阿基米德“论螺线”定义及其方程式的局限性

（关键词：旋进线，旋进比，同步，等距螺线，通用极坐标方程式）

  阿基米德(Archimedes，约公元前287～前212)，古希腊著名的数学家、物理学家，静力学和流体静力学的奠基人。

《论螺线》，是阿基米德对数学的出色贡献。《论螺线》中，明确了以其名字命名的“阿基米德螺线”的定义：“当一点P沿动射线OP以等速率运动的同时，这射线又以等角速度绕点O旋转，点P 的轨迹称为“阿基米德螺线”。它的极坐标方程式为：r = a*θ ，螺线的每条臂间的距离永远相等于 2π*a 。请注意定义中至为关键的一句“动射线OP”！也就是说阿基米德螺线仅限于沿动射线OP（过回转中心的直线）上点的轨迹。只有在这条射线上螺线的每条臂间的距离永远相等于2πa。

我们将思维开放一些，跳出动射线OP这个限定条件，将动射线OP变换为任意直线，定义就变成“动点P沿任意直线以等速率运动的同时，这直线又以等角速度绕点O旋转，点P的轨迹称为……螺线 ”？有人将阿基米德螺线形象地描述为：蚂蚁在均匀回转的唱片上等速的向中心爬去时的轨迹，就是阿基米德螺旋线。那么蚂蚁不向中心爬，而是沿着任意方向的一条直线爬去，其轨迹会是什么螺线呢？ 

出于论述需要，我把绕中心旋转并供动点沿其自身同步、定旋比运动的任意直线称为旋进线；把动点旋转运动与直线运动之间的比例关系称为旋进比（简称旋比）—即动点旋转一周时相应在旋进线上移动的距离（螺距S）。旋比ix =S/360(角度制—单位mm/度)，或ix =S/2π。把动点旋转运动与直线运动之间的运动关系限定为同步，即两者的关系是随动关系，即你动我动、你快我快、你慢我慢、你停我停。同步与等速度是完全不同的两种概念。

在建立了上述旋进线、旋比、同步等概念后，我们再来研究“动点P在绕O点旋转的任意直线（旋进线）上，同步定旋比运动的轨迹”是什么螺线。

我们可以把旋进线放置在回转中心的位置（与射线重合）；也可以放置在偏离回转中心的任何位置。情况是：无论把旋进线在什么位置上，只要旋进线旋转时，动点按同步、定旋比的限定条件在旋进线上作直线运动，那么，旋进线每回转一周，动点在旋进线上会移动一个相等的距离（螺距）。最终形成的轨迹线是一条旋进线上螺距相等的螺旋线。基于螺距均相等的特性，都属于等距螺线（等旋比螺线）。

于是我们可以为等距螺线定义：动点P在绕O点旋转的任意直线（旋进线）上同步定旋比运动的轨迹，是旋进线上螺距均相等的等距螺线。也就是说具有“螺线的每条臂间距离永远等于2πa”之特性的等距螺线有无穷多条（按旋进线所处位置，可分为阿基米德螺线、渐开螺线、长幅渐开螺线、短幅渐开螺线等）。阿基米德螺线只是无穷多条等距螺线中，唯一一条旋进线与动射线重合时形成的轨迹线。由于旋进线与动射线重合，阿基米德螺线的极坐标方程式 ： r=a*θ 中的 r实质上表示了两种含义：一是旋进线上的动点P至回转中心O点的距离L=OP；二是动射线上动点P至回转中心O点的半径长度r =OP(即L=r)。由于其它无穷多条旋进线均偏离了回转中心，产生了偏中距离OO＇，此时L≠r  所以阿基米德螺线的极坐标方程式 r=a*θ，仅能作为其它等距螺线旋进线上动点P至O＇点之间距离（L）的计算公式，即：PO＇= L= ix*θ (r=a*θ中的a即是旋进比ix)。此时r=a*θ已不能作为其它无数多条等距螺线动点P至回转中心O点之间ρ距离的极坐标方程式来使用了！

由于PO、 PO＇及OO＇三条直线构成一个直角三角形OPO＇。PO＇及OO＇系直角三角形的两条直角边，PO（ρ）为斜边。

根据勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即：

此通用极坐标方程式同样适用于阿基米德螺线，因为阿基米德螺线的旋进线过回转中心，OO＇数值为0，

于是我们可以将等距螺线定义为：动点P在绕O点旋转的任意直线（旋进线）上同步、定旋比运动的轨迹，是旋进线上螺距均相等的等距螺线。

等距螺线的极坐标方程式为：,应用等距螺线的极坐标方程式   我们可以设定旋进线与O 点的不同距离 ，如：OO＇= 0， OO＇=ix（由ix=S/2π，S=2πix，我们可将旋进比ix视为假想圆半径），OO＇＜ix ，OO＇＞ix    绘出诸如阿基米德螺线、渐开螺线、短幅渐开螺线、长幅渐开螺线等所有等距螺线。应用 L= ix*θ  公式，进行凸轮及齿轮计算绘制轮廓线。