椭圆的“第三定义?”
(2009-10-03 12:34:41)
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椭圆犹豫不决天荒地老离心率杂谈 |
分类: 白日梦 |
好久不动脑子想问题了,国庆放假闲下来又找回一点感觉,发现自己笨了不少。。。
椭圆的第一定义:到两个定点距离之和等于定长的点的轨迹
第二定义:到一定点与到该点外一定直线的距离之比等于一定值e的点的轨迹(0<e<1)
下面引出我的“第三定义?”:
从前,在一个平面直角坐标系内有一个圆(我们假设她是x^2+y^2=25吧)
在圆上有一个动点P,始终做匀速圆周运动(一直动一直动,岁岁如此生生不息代代相传,动到天荒地老海枯石烂日月无光)
同时,他(动点P)分别在x轴、y轴上的投影P一撇和P撇撇也在运动着,P一撇在(-5,0)(5,0)间做着加速,减速,折返,再加速,再减速,再折返的往返变速直线运动(以下唤作“犹豫不决运动”),P撇撇在(0,-5)到(0,5)线段上也是一样的(做竖着的犹豫不决运动),并且在其中一点经过原点(速度最大时),另一点正在该点运动线段的一端点上,速度为0.
此时,两个动点P一撇和P撇撇独立出来了(不随P动而是自己做自己的“犹豫不决运动”,由因动变自动或是主动,并且两点互不影响),两个动点的轨迹线段分别叫d1和d2吧。(d1=d2=10)
保持P一撇在d1上继续运动不变,调整P撇撇的运动周期起始时间,使两点的瞬时速度一样。换句话说,就是让P一撇运动到(-5,0)时,P撇撇运动到了(0,-5)(当然还有另一种情况先不说)。现在,让我们再请出一位因动点M,把P一撇的横坐标作为M的横坐标,P撇撇的纵坐标作为M的纵坐标,则此时M点坐标为(-5,-5)。也就是说,过P一撇做d1的垂线,过P撇撇做d2的垂线,两垂线交于点M。所以在这个情况下,M点在线段(-5,-5)到(5,5)上做一个斜着的犹豫不决运动。M的轨迹就是一条斜着从左下到右上的线段。
好,继续保持P一撇的运动起始时间不变,把P一撇的运动起始时间稍微调得比P一撇早一点,也就是说,P一撇在到达(-5,0)刚刚要向右运动时,P撇撇已经离开(0,-5)点向上运动了。这种情况下,M点的轨迹是一个斜着的扁扁的椭圆(左下到右上是长轴)。(这里最开始我竟然想成M在绕八字了。。。)
随着P撇撇运动起始时间与P一撇相差越来越远,椭圆越来越胖,然后变成一个正圆,然后又以左上到右下为椭圆的长轴越来越瘦,最终变成了一条(-5,5)到(5,-5)即从左上到右下的线段(这就是开始没有说的另一种情况)。
这时,出现啦!若把P一撇在(-5,0)时P撇撇的位置定为P撇撇的起始位置,那么设
{——————————————————————}的绝对值
e一撇等于0时,就是最开始那个正圆的情况,M轨迹为正圆
e一撇等于1时,就是最开始调整的情况(和没有说的另一种情况),M轨迹为斜的线段。
定义出来了,过两个在互相垂直平分且相等的线段上做犹豫不决运动的点垂直于其所在线段的两直线的焦点的运动轨迹构成的封闭图形
那么这个e一撇和真正定义里的e有没有关系呢?
这是真正的椭圆吗?
希望高人指点!!!!!
(有没说清的地方尽管问~!)
花了一天。。终于。。几何画板+录屏。。democreator是个好软件啊,就是那个水印太恶心了。。。将就看一下吧,帮助理解。。
又看了看做的demo,发现可以说的更简单啊,用不着投影的方法了。
在一个给定母圆O上有两动点A、B以同样的速度沿同一个方向运动即线段AB、弧AB和角AOB不变。
分别作A、B两点分别垂直于x轴、y轴的垂线,四条垂线交于两点M和N。
M和N的轨迹永远是镜像对称的,并且在M运动速度最大时N运动速度最小,反之也是。
所以这时椭圆的“椭度”就可以用角AOB的大小来描述。
一下演示是A和B同时顺时针运动,角AOB=90°和270°时椭圆变成斜线段,角AOB=180°和0°(重合)时,椭圆变为正圆。
好诡异的变色。。。原来是黄色和蓝色笔记