平面图形的几何性质

§A-1 引言

不同受力形式下杆件的应力和变形，不仅取决于外力的大小以及杆件的尺寸，而且与杆件截面的几何性质有关。当研究杆件的应力、变形，以及研究失效问题时，都要涉及到与截面形状和尺寸有关的几何量。这些几何量包括：形心、静矩、惯性矩、惯性半径、极惯性短、惯性积、主轴等，统称为“平面图形的几何性质”。

研究上述这些几何性质时，完全不考虑研究对象的物理和力学因素，作为纯几何问题加以处理。

§A-2 静矩、形心及相互关系

任意平面几何图形如图A-1所示。在其上取面积微元dA，该微元在Oxy坐标系中的坐标为x、y。定义下列积分： http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image004.gif   http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image006.gif      （A-1） http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image008.gif 分别称为图形对于x轴和y轴的截面一次矩或静矩，其单位为 http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image010.gif 。 如果将dA视为垂直于图形平面的力，则ydA和zdA分别为dA对于z轴和y轴的力矩； http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image014.gif 则分别为dA对z轴和y轴之矩。图A-1图形的静矩与形心图形几何形状的中心称为形心,若将面积视为垂直于图形平面的力，则形心即为合力的作用点。

http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image002.jpg

设 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image018.gif} 为形心坐标，则根据合力之矩定理

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image020.gif}                                 (A-2)

或
_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image022.gif}                             (A-3)

这就是图形形心坐标与静矩之间的关系。

根据上述定义可以看出：

1.静矩与坐标轴有关，同一平面图形对于不同的坐标轴有不同的静矩。对某些坐标轴静矩为正；对另外某些坐标轴为负；对于通过形心的坐标轴，图形对其静矩等于零。

2.如果已经计算出静矩，就可以确定形心的位置；反之，如果已知形心位置，则可计算图形的静矩。

实际计算中，对于简单的、规则的图形，其形心位置可以直接判断。例如矩形、正方形、圆形、正三角形等的形心位置是显而易见的。对于组合图形，则先将其分解为若干个简单图形(可以直接确定形心位置的图形)；然后由式(A-2)分别计算它们对于给定坐标轴的静矩，并求其代数和；再利用式(A-3),即可得组合图形的形心坐标。即:

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image024.gif}            (A-4)

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image026.gif}                            (A-5)

§A-3  惯性炬、极惯性炬、惯性积、惯性半径

图A-1中的任意图形，以及给定的Oxy坐标，定义下列积分：

        _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image028.gif}                                      (A-6)

        _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image030.gif}                                      (A-7)

分别为图形对于x轴和y轴的截面二次轴矩或惯性矩。

定义积分

         _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image032.gif}                                      (A-8)

为图形对于点O的截面二次极矩或极惯性矩。

定义积分

           _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image034.gif}                                     (A-9)

为图形对于通过点O的一对坐标轴x、y的惯性积。

定义

                 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image036.gif}   , _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image038.gif}  

分别为图形对于x轴和y轴的惯性半径。

根据上述定义可知：

1.惯性矩和极惯性矩恒为正；而惯性积则由于坐标轴位置的不同，可能为正，也可能为负。三者的单位均为 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image042.gif} 。

2.因为 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image048.gif} ，所以由上述定义不难得出

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image054.gif}                              (A-10)

3.根据极惯性矩的定义式(A-8)，以及图A-2中所示的微面积取法，不难得到圆截面对其中心的极惯性矩为

                          _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image056.gif}                                 (A-11)

                  _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image058.gif}                                 (A-12)

式中,d为圆的直径；R为半径。

类似地，还可以得圆环截面对于圆环中心的极惯性矩为

                 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image060.gif} ,      _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image062.gif}                     (A-13)

	http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image064.jpg

式中，D为圆环外径；d为内径。

4.根据惯性矩的定义式(A-6)、(A-7)，注意微面积的取法(图A-3所示)，不难求得矩形对于平行其边界的轴的惯性矩：

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image066.gif}   ,  _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image068.gif}                      (A-14)

根据式(A-10)、(A-11)，注意到圆形对于通过其中心的任意两根轴具有相同的惯性矩，便可得到圆截面对于通过其中心的任意轴的惯性矩均为

               _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image070.gif}                            (A-15)

对于外径为D、内径为d的圆环截面,

                        _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image072.gif}                

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image074.gif}                                      (A-16)

应用上述积分，还可以计算其他各种简单图形对于给定坐标轴的惯性矩。

必须指出，对于由简单几何图形组合成的图形，为避免复杂数学运算，一般都不采用积分的方法计算它们的惯性矩。而是利用简单图形的惯性矩计算结果以及图形对于平行轴惯性矩之间的关系，由求和的方法求得。

§A-4 惯性矩与惯性积的移轴定理

图A-4中所示之任意图形，在坐标系Oxy系中，对于x、y轴的惯性矩和惯性积为

http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image078.gif

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image080.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image082.gif}

另有一坐标系Ox₁y₁，其中x₁和y₁分别平行于x和y轴，且二者之间的距离为a和b。

所谓移轴定理是指图形对于互相平行轴的惯性矩、惯性积之间的关系。即通过已知对一对坐标轴的惯性矩、惯性积，求图形对另一对坐标轴的惯性矩与惯性积。

下面推证二者间的关系。

根据平行轴的坐标变换

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image084.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image086.gif}

将其代人下列积分

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image088.gif}   ,  _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image090.gif}

              _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image092.gif}

得

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image094.gif}

                  _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image096.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image098.gif}

展开后,并利用式(A-2)、(A-3)中的定义，得

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image100.gif}                       (A-17)

如果x、y轴通过图形形心，则上述各式中的 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image101.gif} = _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image102.gif} =0。于是得

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image104.gif}                               (A-18)

此即关于图形对于平行轴惯性矩与惯性积之间关系的移轴定理。其中，式(A-18)表明：

1.图形对任意轴的惯性矩，等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩，加上图形面积与两平行轴间距离平方的乘积。

2.图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积，等于图形对于平行于该坐标轴的一对通过形心的直角坐标轴的惯性积，加上图形面积与两对平行轴间距离的乘积。

3.因为面积及a²、b²项恒为正，故自形心轴移至与之平行的任意轴，惯性矩总是增加的。

a、b为原坐标系原点在新坐标系中的坐标，故二者同号时abA为正，异号时为负。所以，移轴后惯性积有可能增加也可能减少。

§A-5  惯性矩与惯性积的转轴定理

http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image106.jpg 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时，图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律。

图A-5所示的图形对于x、y轴的、惯性矩和惯性积分别为 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image112.gif} 。

现将Oxy坐标系绕坐标原点。反时针方向转过α角，得到一新的坐标系，记为Ox₁y₁。要考察的是图形对新坐标系的 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image121.gif} 之间的关系。

根据转轴时的坐标变换：

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image123.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image125.gif}

于是有

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image127.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image129.gif}

   _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image131.gif}

将积分记号内各项展开，得

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image133.gif}                       (A-19)

改写后，得

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image135.gif}                   （A-20）

上述式(A-19)和(A-20)即为转轴时惯性矩与惯性积之间的关系。

若将上述 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image136.gif} 与 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image137.gif} 相加，不难得到

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image139.gif}

这表明：图形对一对垂直轴的惯性矩之和与α角无关，即在轴转动时，其和保持不变。

上述式(A-19)、(A-20)，与移轴定理所得到的式(A-18)不同，它不要求x、y通过形心。当然，对于绕形心转动的坐标系也是适用的，而且也是实际应用中最感兴趣的。

§A-6主轴与形心主轴、主矩与形心主矩

从式(A-19)的第三式可以看出，对于确定的点(坐标原点)，当坐标轴旋转时，随着角度α的改变，惯性积也发生变化，并且根据惯性积可能为正，也可能为负的特点，总可以找到一角度α₀以及相应的x₀、y₀轴，图形对于这一对坐标轴的惯性积等于零。为确定α₀，令式(A-19)中的第三式为零，

即

          _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image141.gif}

由此解得

                _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image143.gif}                                  (A-21)

或

              _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image145.gif}                              (A-22)

如果将式(A-20)对α求导数并令其为零，即

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image147.gif} ，   _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image149.gif}

同样可以得到式(A-21)或(A-22)的结论。这表明:当α改变时, _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image151.gif} 的数值也发生变化，而当α=α₀时，二者分别为极大值和极小值。

定义  过一点存在这样一对坐标轴，图形对于其惯性积等于零，这一对坐标轴便称为过这一点的主轴。图形对主轴的惯性矩称为主轴惯性矩，简称主惯性矩。显然，主惯性矩具有极大或极小的特征。

根据式(A-20)和(A-21)，即可得到主惯性矩的计算式

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image153.gif}                  (A-23)

需要指出的是对于任意一点(图形内或图形外)都有主轴，而通过形心的主轴称为形心主轴，图形对形心主轴的惯性矩称为形心主惯性矩。工程计算中有意义的是形心主轴和形心主矩。

当图形有一根对称轴时，对称轴及与之垂直的任意轴即为过二者交点的主轴。例如图A-6所示的具有一根对称轴的图形，位于对称轴y一侧的部分图形对x、y轴的惯性积与位于另一侧的图形的惯性积，二者数值相等，但反号。所以，整个图形对于x、y轴的惯性积 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image156.gif} =0，故图A-6对称轴为主轴x、y为主轴。又因为C为形心，故x、y为形心主轴。

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§A-7组合图形的形心、形心主轴

工程计算中应用最广泛的是组合图形的形心主惯性矩，即图形对于通过其形心的主轴之惯性矩。为此必须首先确定图形的形心以及形心主轴的位置。

因为组合图形都是由一些简单的图形(例如矩形、正方形、圆形等)所组成，所以在确定其形心、形心主轴以至形心主惯性矩的过程中，均不采用积分，而是利用简单图形的几何性质以及移轴和转轴定理。一般应按下列步骤进行。

·将组合图形分解为若干简单图形，并应用式(A-5)确定组合图形的形心位置。

·以形心为坐标原点，设Ozy坐标系x、y轴一般与简单图形的形心主轴平行。确定简单图形对自身形心轴的惯性矩，利用移轴定理(必要时用转轴定理)确定各个简单图形对x、y轴的惯性矩和惯性积，相加(空洞时则减)后便得到整个图形的 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image157.gif} 、 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image159.gif} 。

·应用式(A-21)和(A-22)确定形心主轴的位置，即形心主轴与x轴的夹角α₀。

·利用转轴定理或直接应用式(A-23)计算形心主惯性矩 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image161.gif} 和 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image163.gif} 。

可以看出，确定形心主惯性矩的过程就是综合应用本章§A-2～§A-6全部知识的过程。

§A-8  例题

例题A-1  截面图形的几何尺寸如图A-7所示。试求图中具有断面线部分的I_x、I_y。

解: 根据积分定义，具有断面线的图形对于x、y轴的惯性矩，等于高为h、宽为b的矩形对于x、y轴的惯性矩减去高为 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image165.gif} 的矩形对于相同轴的惯性矩，即

http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image167.jpg

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image169.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image171.gif}

上述方法称为负面积法。用于图形中有挖空部分的情形，计算比较简捷。

例题A-2  T形截面尺寸如图A-8a所示。试求其形心主惯性矩。

解：1.分解为简单图形的组合。

将T形分解为如图A-8b所示的两个矩形I和II。

2.确定形心位置

首先，以矩形I的形心C₁为坐标原点建立如图A-8b所示的C₁xy坐标系。因为y轴为T字形的对称轴，故图形的形心必位于该轴上。因此，只需要确定形心在y轴上的位置，即确定y_c。根据式(A-5)的第二式，形心C的坐标

	http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image172.jpg

 

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image174.gif}

3.确定形心主轴

因为对称轴及与其垂直的轴即为通过二者交点的主轴，所以以形心C为坐标原点建立如图A-12c所示的Cx₀y₀坐标系，其中y₀通过原点且与对称轴重合，则x₀、y₀即为形心主轴。

4.采用叠加法及移轴定理计算形心主惯性矩 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image176.gif}

根据惯性矩的积分定义，有

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image178.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image180.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image182.gif}

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image184.gif}

          _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image186.gif}

	http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image188.jpg

例题A-3  图A-9a所示为一薄壁圆环截面，D₀为其平均直径，δ为厚度，若δ、D₀均为已知，试求薄壁圆环截面对其直径轴的惯性矩。

解：求圆环截面对其直径轴的惯性矩可采用负面积法，即

_{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image190.gif}

  其中, _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image192.gif} 。

对于 _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image194.gif} 的薄壁圆环截面，为了使公式简化，可采用近似方法计算。

    取积分微元dA如图A-9b所示。根据惯性矩的定义，得到

    _{http://me.wit.edu.cn/cllx/JIAOAN/jiaoan/fu01.files/image196.gif}