带电粒子在复合场中运动模型例析

傅雪平

浙江省金华市第一中学 321015

带电粒子在复合场中的运动问题，物理情景比较复杂，是高考命题的热点．这部分内容从本质上讲是一个力学问题，解题时，只要建立正确的运动模型，根据力学问题的研究思路和运用力学的基本规律就可顺利求解．现将基本运动模型归纳如下，供同学们参考．

1  匀速直线运动　

 

qE

qvB

mg

B、E

θ

图1

例1  设在地面上方的真空中，存在匀强电场和匀强磁场，已知电场强度和磁感应强度的方向相同，电场强度的大小E=4.0V/m，磁感应强度的大小B=0.15T，今有一个带负电的质点以v=20m/s的速度在此区域内沿垂直于场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场所有可能的方向（角度可以用反三角函数表示）．

 

解析  带电粒子做匀速直线运动，所以带电粒子所受的电场力，重力、磁场力一定在同一竖直平面内，合力为零，如图1所示，质点的速度方向一定垂直于纸面向外．

由三力平衡的条件可知    

得

设磁场力方向与重力方向的夹角为θ，则有     

得       即

所以，磁场方向是沿着与重力方向夹角 ，且斜向下方的一切方向．

2  匀变速直线运动

 

图2

例2  质量为m，电量为+q的小球以初速度v₀以与水平方向成θ角射出，如图2所示，如果在空间加上一定大小的匀强电场和匀强磁场后，能保证小球沿v₀方向做匀减速直线运动，试求所加匀强电场的最小值和匀强磁场的方向，加了这个二个场后，经多长时间速度变为零?

 

解析  小球在重力和电场力作用下沿v₀方向做匀减速直线运动，可知垂直v₀方向上合外力为零，重力与电场力的合力与v₀相反，磁场方向必平行于v₀所在直线．

 

图3

如图3所示，设场强E与v₀成φ角，由牛顿第二定律可得

 

Eqsinφ-mgcosθ=0                                  ①

Eqcosφ-mgsinθ=ma                                ②

由①得： E=mgcosθ／qsinφ

当φ＝90°时，E最小为E_min＝mgcosθ／q，其方向与v₀垂直斜向上

将φ＝90°代入②式可得a＝－gsinθ

即在场强最小时，小球沿v₀做加速度为a＝－gsinθ的匀减速直线运动，设运动时间为t时速度为0，则：0＝v₀－gsinθt

可得：t= ．

3  变加速直线运动

 

图4

例3  正交的匀强电场和匀强磁场，方向都沿水平方向，水平放置一绝缘直棒，棒上套一个带电小球，如图4所示．小球质量m=10^-6kg，电量q=10^-7C，小球和棒间的动摩擦因数μ=0.2，已知电场强度E=10²N/C，方向水平向右，磁感强度B=1T，方向垂直纸面向里．小球从静止释放，求当小球加速度达最大值时速度大小和加速度的大小.

 

解析  对小球受力分析如图5所示，小球从静止开始做变加速直线运动，随速度增大，洛伦兹力增大，弹力N减小，摩擦力f减小，加速度增大．当 Bqv=mg时，加速度达最大值，此时

 

图5

，

 

．

点评  带电粒子在复合场中运动，若粒子所受的合外力为零，则粒子做匀速直线运动（例1）；若粒子所受的合外力恒定且与速度方向共线，则粒子做匀变速直线运动（例2）；若粒子所受的合外力与速度方向共线，且大小变化，则粒子做变加速直线运动（例3）．解题时，需要建立物理情景，挖掘隐含条件，特别要注意洛伦兹力随速度的变化而随之改变的特点．

4  匀速圆周运动

 

图6

例4  一个带电微粒在如图6所示的正交匀强电场和匀强磁场中在竖直面内做匀速圆周运动．则该带电微粒必然带＿＿，旋转方向为＿＿＿．若已知圆半径为r，电场强度为E,磁感应强度为B，则线速度为＿＿＿．

 

　  解析  带电微粒受重力、电场力、洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动，可推知电场力与重力平衡，所以必为负电；由左手定则得逆时针转动；再由 和 得 ．

5  变速率圆周运动

例5  如图7所示，在竖直平面内的光滑半圆环，半径为R，如在电场强度为E的匀强电场和垂直纸面向内磁感强度为B的匀强磁场中，一个质量为m，带电量为+q的小球从与圆心O等高处沿圆环滑下，当小球滑至最低点时对圆环压力为多大？

解析 小球从与圆心O等高处沿圆环滑下，受重力、电场力、洛伦兹力和圆环弹力作用，其中洛伦兹力和圆环弹力不做功，设在最低点的速度为 ，由动能定理，得

 

图7

，

 

在最低点时    ，

联立得   ．

点评  带电粒子在复合场中作圆周运动时，若粒子受到的合力始终指向圆心，则粒子将做匀速圆周运动（例4），这类问题用牛顿运动定律求解即可；若粒子受到的合力不指向圆心，粒子将做变速率圆周运动（例5），这类问题常采用动能定理结合牛顿运动定律来求解．

6  螺旋线运动

 

BE  E

图8

例6 在某一个空间中，存在匀强电场和匀强磁场，方向相同，大小分别为E、B．带正电的粒子垂直射入电场线和磁感应线平行的复合场中，如图8．试讨论粒子的运动情况．（不考虑重力）

 

解析  设粒子的质量为m，电量为q．在平行B的方向受电场力的作用，粒子做匀加速直线运动，

水平位移  ，

水平速度  ，                                       

在垂直B的方向上，受磁场力的作用做匀速圆周运动，轨道半径和周期分别为：

．

带电粒子运动轨迹是沿B方向做匀加速直线运动和垂直B方向做匀速圆周运动的合运动，是不等螺距的螺旋线运动，如果电场线和磁感应线反向，粒子旋转方向相反或加速方向相反，但运动规律相同．                         

7  匀变速曲线运动

 

图9

例7　质量为m、带电量为+q的小球从距地面高为h处以一定的初速度水平抛出，在距抛出点水平距离为L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，细管的上端口距地面h/2，为使小球无碰撞地沿管内运动，可在管子上端口的上方的整个区域加一个水平向左的匀强电场，如图9所示．求：

 

(1)小球的初速度ｖ₀的大小？ 　　(2)电场强度Ｅ的大小？
　　(3)小球落地时的动能Ｅ_k？
　　解析  小球通过竖直管子，水平方向速度为零．小球在重力场和静电场中做匀变速曲线运动，即沿竖直方向上做自由落体运动，沿水平方向上做匀减速直线运动．设在复合场中飞行时间为ｔ₁，则
　　　　水平方向  ， ，
　　　　竖直方向  ，

联立以上三式，解得 ， ．

　　整个过程小球沿竖直方向一直做自由落体运动，则 ，
　　　　所以，落地时小球的动能 ．

点评  由例6、例7可见，带电粒子在复合场中做曲线运动时，运动的合成与分解是联系正交方向上依存关系的隐含条件．充分利用矢量的合成与分解，依据分运动之间的等时性是解决问题的关键．

8  摆线运动

 

图10

例8  设空间存在竖直向下的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场,如图10所示.已知一离子在电场力和洛伦兹力的作用下,从静止开始自A点沿曲线ACB运动,到达B点时速度为零.C点是运动的最低点.忽略重力,以下说法中正确的是:

 

A.离子必带正电荷；       B.A点和B点位于同一高度；

   C.离子在C点时速度最大；  D.离子到B点后，将沿曲线返回A．

解析  离子从A由静止开始沿曲线ACB运动，受到电场力和洛伦兹力作用，合力指向曲线ACB的内侧．由于电场力方向沿竖直方向，所以洛伦兹力方向只能指向曲线ACB的内侧，由左手定则判断，离子只能带正电．A对．

离子运动中，只有电场力做功，洛伦兹力不做功，由动能定理得

          

所以          

因此A、B两点位于匀强电场的同一等势面上，其高度相同．B对．

离子从A到C，电场力做正功，电势能减少最大，动能增量最大，所以在C点速度最大．C对．

离子到B点后的运动情况与A点开始运动情况相同，其轨迹也应与曲线ACB相同，不可能沿原曲线返回A点．D错．

正确选项为ABC．

点评  对于做变加速曲线运动的粒子，绝对不能想当然，而要仔细受力分析和能量分析，这是研究粒子在复合场中运动问题的两种基本方法．

综上所述，带电粒子在复合场中的运动集中融合力学、电磁学等知识，其特点是构思新颖、综合性强，突出考查学生对物理过程和运动规律的综合分析能力、运用数学知识解决物理问题的能力及空间想象能力. 总之，我们在解题时，应根据题目情景正确受力分析和过程分析，建立正确的运动模型，依据各运动过程的特点选择不同的解决方法，从而正确解题．

链接练习

 

y

x

0

A

B

C

θ

图11

1．如图11所示，坐标系xoy在竖直平面内，空间有沿水平方向垂直于纸面向外的匀强磁场，z磁感应强度大小为B，在x>0的空间里有沿x轴正方向的匀强电场，场强的大小为E，一个带正电的小球经过图中x轴上的A点，沿着与水平方向成θ=30⁰角的斜向下直线做匀速运动，经过y轴上的B点进入x<0的区域，要使小球进入x<0区域后能在竖直面内做匀速圆周运动，需在x<0区域内另加一匀强电场．若带电小球做圆周运动通过x轴上的C点，且OA=OC，设重力加速度为g，求：

 

（1）小球运动速率的大小．     （2）在x<0的区域所加电场大小和方向．

 

E

B

图12

2.如图12所示，在某个空间内有一个水平方向的匀强电场，电场强度 ，又有一个与电场垂直的水平方向匀强磁场，磁感强度B＝10T．现有一个质量m＝2×10^-6kg、带电量q＝2×10^-6C的微粒，在这个电场和磁场叠加的空间作匀速直线运动．假如在这个微粒经过某条电场线时突然撤去磁场，那么，当它再次经过同一条电场线时，微粒在电场线方向上移过了多大距离．（ｇ取10m／S²）

 

 

图13

3.如图13所示，水平向左的匀强电场的场强E=4伏/米，垂直纸面向内的匀强磁场的B=2 特，质量为1 千克的带正电的小物块A从竖直绝缘墙上的M点由静止开始下滑，滑行0.8m到达N点时离开墙面开始做曲线运动，在到达P点开始做匀速直线运动，此时速度与水平方向成45°角，P点离开M点的竖直高度为1.6m，试求：

 

   （1）A沿墙下滑克服摩擦力做的功；

   （2）P点与M点的水平距离，取g=10m/s²．

 

B

θ

图14

4．（原创）如图14所示，倾角为θ的光滑斜面，处于磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，一个质量为m、带负电为q的滑块从静止开始沿斜面滑下．求滑块沿斜面滑行的最大速度和最大距离各是多少？

 

 

 

 

 

 

链接练习参考答案

1．解析 (1)油滴从A运动到B的过程中，油滴受重力、电场力和洛伦兹力作用而处于平衡状态，由题设条件知：    

所以油滴的运动速率为：  

（2）油滴在x<0的区域作匀速圆周运动，则油滴的重力与所受的电场力平衡，洛伦兹力提供油滴作圆周运动的向心力．所以：   又  所以  方向竖直向上．                   

 

B

E

f

mg

Eq

F

v

图15

2．解析 题中带电微粒在叠加场中作匀速直线运动，意味着微粒受到的重力、电场力和磁场力平衡．进一步的分析可知：洛伦兹力f与重力、电场力的合力F等值反向，微粒运动速度V与f垂直，如图15．当撤去磁场后，带电微粒作匀变速曲线运动，可将此曲线运动分解为水平方向和竖直方向两个匀变速直线运动来处理，如图16．

 

由图15可知： ，

得 

又：  ，

       解得    

 

V

Eq

mg

Vy

Vx

E

图16

　　由图16可知，微粒回到同一条电场线的时间：

 

则微粒在电场线方向移过距离： ,

.

3．解析 （1）带正电的小物块A从M点到N点过程做加速度增加的加速直线运动，在N点离开墙壁，有    

 

mg

qE

图17

P

得 

 

由动能定理  ，

得

（2）如图17所示，在P点小物块A受三个力平衡， 有

，

所以  

从N 到 P由动能定理，

代入数据得  

4．解析 带负电的滑块受重力mg、支持力N、及洛伦兹力f，如图18所示．

 

θ

图18

mg

N

vqB

沿斜面方向  ，①

 

垂直斜方向  ，②

由①式可知，滑块做加速度a=gsinθ的匀加速运动．

根据②式，当v增加时，N减小，当v达到最大值 时，N=0，即滑块离开斜面，得 ．

由运动学规律，得最大位移 ．