本帖由Matlab技术论坛原创，原帖参见http://www.matlabsky.com/viewthread.php?tid=3885

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% 2009-11-20 23:47:12
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至于Newton-Cotes数值积分的具体表达、推导、说明和附件，参见我发布在Matlab技术论坛的原帖http://www.matlabsky.com/viewthread.php?tid=3885。下面给我只是给出Newton-Cotes数值积分的Matlab实现代码

复化Newton-Cotes数值积分公式

function y=mulNewtonCotes(fun,a,b,m,n)
% 复化Newton-Cotes数值积分公式，即在每个子区间上使用Newton-Cotes公式，然后求和
% 参数说明
% fun，积分函数的句柄，必须能够接受矢量输入
% a，积分下限
% b，积分上限
% m，将区间[a,b]等分的子区间数量
% n，采用的Newton-Cotes公式的阶数，必须满足n<8，否则积分没法保证稳定性
%    (1)n=1，即复化梯形公式
%    (2)n=2，即复化辛普森公式
%    (3)n=4，即复化科特斯公式
%
% Example
% fun=@(x)sin(x).*cos(x)
% mulNewtonCotes(fun,0,2,10,4)
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% 2009-11-20 22:35:32
%
xk=linspace(a,b,m+1);
for i=1:m
    s(i)=NewtonCotes(fun,xk(i),xk(i+1),n);
end
y=sum(s);

牛顿-科特斯数值积分公式

function [y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)
% y=NewtonCotes(fun,a,b,n)
% 牛顿-科特斯数值积分公式
%
% 参数说明：
% fun，积分表达式，这里有两种选择
%      (1)积分函数句柄，必须能够接受矢量输入，比如fun=@(x)sin(x).*cos(x)
%      (2)x,y坐标的离散点，第一列为x，第二列为y，必须等距，且节点的个数小于9，比如：fun=[1:8;sin(1:8)]'
% 如果fun的表采用第二种方式，那么只需要输入第一个参数即可，否则还要输入a,b,n三个参数
% a，积分下限
% b，积分上限
% n，牛顿-科特斯数公式的阶数，必须满足1<n<7，因为n>=8时不能保证公式的稳定性
%    (1)n=1，即梯形公式
%    (2)n=2，即辛普森公式
%    (3)n=4，即科特斯公式
% y，数值积分结果
% Ck，科特斯系数
% Ak，求积系数
%
% Example
% fun1=@(x)sin(x);%必须可以接受矢量输入
% fun2=[0:0.1:0.5;sin(0:0.1:0.5)];%最多8个点，必须等距
% y1=NewtonCotes(fun1,0,0.5,6)
% y2==NewtonCotes(fun2)
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% 2009-11-20 15:06:51
%
if nargin==1
    [mm,nn]=size(fun);
    if mm>=8
        error('为了保证NewtonCotes积分的稳定性，最多只能有9个等距节点！')
    elseif nn~=2
        error('fun构成应为：第一列为x，第二列为y，并且个数为小于10的等距节点！')
    end
    xk=fun(1,:);
    fk=fun(2,:);
    a=min(xk);
    b=max(xk);
    n=mm-1;
elseif nargin==4
    % 计算积分节点xk和节点函数值fx
    xk=linspace(a,b,n+1);
    if isa(fun,'function_handle')
        fx=fun(xk);
    else
        error('fun积分函数的句柄，且必须能够接受矢量输入！')
    end
else
    error('输入参数错误，请参考函数帮助！')
end
% 计算科特斯系数
Ck=cotescoeff(n);
% 计算求积系数
Ak=(b-a)*Ck;
% 求和算积分
y=Ak*fx';

function Ck=cotescoeff(n)
% 由于科特斯系数最多7阶，为了方便我们可以直接使用，省得每次都计算
% A1=[1,1]/2
% A2=[1,4,1]/6
% A3=[1,3,3,1]/8
% A4=[7,32,12,32,1]/90
% A5=[19,75,50,50,75,19]/288
% A6=[41,216,27,272,27,216,41]/840
% A7=[751,3577,1323,2989,2989,1323,3577,751]/17280

% 当时为了体现公式，我们使用程序计算n阶科特斯系数
for i=1:n+1
    k=i-1;
    Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n);
end

function f=intfun(t,n,k)
% 科特斯系数中的积分表达式
f=1;
for i=[0:k-1,k+1:n]
    f=f.*(t-i);
end