平面图中至少存在一个面的边数或

一个顶点的度数是小于等于5的证明

雷  明

（二二年十二月二十四日）

用F_n表示地图（3—正则的平面图）中n边形面的个数，如果该平地图中有F个面，那么就有

       F＝F₂＋F₂＋F₃＋……     （1）

因为每条边有两个顶点，而地图中每个顶点都是3条边的公共顶点，如果这个地图中总共有E条边和V个顶点，则有

　　　　    2E＝3V                             （2）

因为n边形的面有n个顶点，并且每个顶点是3个面所共有，所以又有

        3V＝F₂＋F₃＋F₄＋……     （3）

平面图的欧拉公式是

        V－E＋F＝2　　　　　　 （4）

（4）×6得

        6V－6E＋6F＝12              （5）

（2）×2得

        6V＝4E                              （6）

（5）－（6）得

　　　　    6F－2E＝12                         （7）

把F＝F₂＋F₃＋F₄＋……（1式），2E＝3V（2式）和3V＝F₂＋F₃＋F₄＋……（3式）代入（7）式得

        6（F₂＋F₃＋F₄＋……）－2（F₂＋F₃＋F₄＋……）＝12

        （6－2）F₂＋（6－3）F₃＋（6－4）F₄＋（6－5）F₅

        ＋（6－6）F₆＋（6－7）F₇＋（6－8）F₈＋……＝12

        4F₂＋3F₃＋2F₄＋1F₅＋0F₆－1F₇－2F₈－3F₉－……＝12

        4F₂＋3F₃＋2F₄＋F₅－F₇－2F₈－3F₉－……＝12      （8）

由于地图与极大平面图是互为对偶图的两个图，地图中的顶点就是极大图中的面，地图中的面就是极大图中的顶点，所以把上式中的面F换成顶点V时，就得到

        4V₂＋3V₃＋2V₄＋V₅－V₇－2V₈－3V₉－……＝12     （9）

（8）、（9）两式的左端至少有一项必须是正的，才能保证公式的右端是正值。也就是说，F₂、F₃、F₄、F₅和V₂、V₃、V₄、V₅中必有一项是不为0的。

（8）、（9）两式分别表示任何地图或任何极大平面图中必有至少一个面的边数是小于等于5的，或表示任何极大平面图中必有至少一个顶点的度是小于等于5的。也说明了所有面的边数都是大于等于6的地图是不存在的，而所有顶点的度都是大于等于6平面图也是不存在的；虽然公式中F₆和V₆两项的系数都是0，但并不说明地图中就不存在边数是6的面，也并不说明平面图中就不存在度是6的顶点。

（8）、（9）两式中都没有F₁和V₁，说明我们这里只研究的是正规地图，不存在一条边的面（国中之国），其在对偶图极大平面图中对应的只是一个孤立的顶点K₁，与其他顶点均不连通，说明它只能是另外一个图了。

任何地图中必有至少一个面的边数是小于等于5，即至少要有F₂、F₃、F₄、F₅中的任何一项存在；任何平面图中必有至少一个顶点的度是小于等于5，也即至少要有V₂、V₃、V₄、V₅中的任何一项存在。说明了坎泊所提出的任何地图中一定存在着“一国与两国相邻”、“一国与三国相邻”、“一国与四国相邻”和“一国与五国相邻”四种情况中的一种的观点是正确的。就是由这四种情况构成了地图的不可避免构形集和平面图的不可避免构形集。因此证明四色猜测时，只要证明了这四种情况下的构形都是可约的，就可以了说明四色猜测是正确的了。除此之外，应该说在证明四色猜测中，公式（8）、（9）是再没有别的用处的。

现在我们看一下在以下的各种情况下的图是个什么样的图：

1、当F₃（V₃）、F₄（V₄）、F₅（V₅）、F₆（V₆）、F₇（V₇）、F₈（V₈）、F₉（V₉）……都是0，只有F₂时的地图和极大图分别如图1和图2，分别是一个海岛上有两个国家的地图和一个三角形对应的K₃图。这是一对互对偶图。4F₂（V₂）＝12，则F₂（V₂）＝3，E＝3，V₂（F₂）＝2。V＋F＝3＋2＝5，E＋2＝3＋2＝5，左右相等，符合欧拉公式。

2、1、当F₂（V₂）、F₄（V₄）、F₅（V₅）、F₆（V₆）、F₇（V₇）、F₈（V₈）、F₉（V₉）……都是0，只有F₃时的地图和极大图分别如图3和图4，分别是一个海岛上有三个国家的地图和一个四面体对应的K₄图。这也是一对互对偶图。3F₃（V₃）＝12，则F₃（V₃）＝4，E＝6，V₃（F₃）＝4。V＋F＝4＋4＝8，E＋2＝6＋2＝8，左右相等，符合欧拉公式。

3、1、当F₂（V₂）、F₃（V₃）、F₅（V₅）、F₆（V₆）、F₇（V₇）、F₈（V₈）、F₉（V₉）……都是0，只有F₄时的地图和极大图分别如图5和图6，分别是六面体对应的图和八面体对应的图。这仍是一对互对偶图。2F₄（V₄）＝12，则F₄（V₄）＝6，E＝12，V₄（F₄）＝8。V＋F＝6＋8＝14，E＋2＝12＋2＝14，左右相等，符合欧拉公式。

4、1、当F₂（V₂）、F₃（V₃）、F₄（V₄）、F₆（V₆）、F₇（V₇）、F₈（V₈）、F₉（V₉）……都是0，只有F₅时的地图和极大图分别如图7和图8，分别是十二面体对应的图和二十面体对应的图。这还是一对互对偶图。F₅（V₅）＝12，则F₅（V₅）＝12，E＝30，V₄（F₄）＝20。V＋F＝12＋30＝32，E＋2＝30＋2＝32，左右相等，符合欧拉公式。

再向后的F₆（V₆）、F₇（V₇）、F₈（V₈）、F₉（V₉）……可以是０，也可以是任何数，但缺少了F₂（V₂）、F₃（V₃）、F₅（V₅）中的任何一项，都是不可能构成平面图的。由于类型太多，也就不再画图了。

雷  明

二二年十二月二十四日于长安

注：此文已于二二年十二月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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