谈拓扑法证明四色猜测

雷  明

（二一九年七月二十四日）

    张彧典先生最近转发了《权威部门谈四色定理》一文，看后很有起发，现在对其有关用拓扑法证明四色猜测的构想谈一点自已的看法。

该文最后谈到了用拓扑法证明四色猜测的问题，但只很简短的说了一下，并没有过多的展开：

“拓扑证明

“四色定理证明的关键可以归纳为二维平面内两条直线相交的问题。

“1、将地图上不同的区域用不同的点来表示。

“2、点与点之间的连线用来表示地图上两区域之间的相邻逻辑关系，所以,线与线之间不可交叉（即不可存在交叉而没有公共交点的情况），否则就超越了二维平面，而这种平面暂时称它为逻辑平面，它只反应区域之间的关系，并不反应实际位置。

“通过以上的变换处理，可以将对无穷尽的实际位置的讨论，变为有条理可归纳的逻辑关系的讨论，从而提供了简单书面证明的可行性。

“如果证明可以用一句话来说，那就是：“二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线。”

我认为，这是一个很好的设想或构想。其最后一句话是：“二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线。”这里有几个问题必须明确：

1、这里所说的“二维平面”应该就是指亏格是0的平面或球面。但亏格大于0的多阶曲面（如轮胎面，眼镜匡面等）在不在这里的“二维平面”之列呢？要明确。

2、要弄清什么是交叉直线？什么又是共点直线？它们有什么区别？

3、在几何学中讲，只要是直线相交叉了，就必然有共同的点存在，两条直线交叉必有共点现象发生，有共点的两条直线必是该两条直线交叉的结果。

4、但在拓扑学的图论中，却有顶点与边（有时也叫线）之分。边与边只连接着同一顶点时，就是共点；而边与边的两端均不连接同一顶点，但中途又有共同顶点时，才叫交叉，这两条边就叫交叉边。我想上述的“二维平面不存在交叉直线，只存在共点直线”就是指这种情况的。这就是平面图，而有交叉边的图就是非平面图。

5、亏格为0的平面或球面上“不存在交叉直线，只存在共点直线”，同样的，亏格大于0的多阶曲面上也是“不存在交叉直线，只存在共点直线”的。

6、我认为这里“权威部门”所说的“拓扑证明”法，应该就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式。是把不同亏格的曲面上的色数与曲面的亏格联系起来了。求出其中的关系来。

7、不同亏格的曲面都有能嵌入其上的最大的两两顶点均相邻的最大完全图，这个最大完全图的顶点数是多少，能嵌入该亏格曲面上的图的最大色数就是多少。

8、赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式是可以用多阶曲面上的欧拉公式直接推导出来的。其推导过程简述如下：

顶点数v≥3的图都有3f≤2e（f是面数，e是边数）的关系，把f≤2/3e代入多阶曲面上图的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）（n是图的亏格）中得

e≤3v－6（1－n）（v≥3）          （1）

注意，这里对图的亏格可是没有任何限制的。再把完全图边与顶点的关系e＝V（V—1）/2代入（1）式中得

e＝V（V—1）/2＝3v－6（1－n）

v²－7v＋12（1－n）≤0            （2）

解这个一元二次不等式（2），得其正根是

v≤（7＋√（1＋48n））/2 （v≥3）

由于顶点数v必须是整数，所以上式还得向下取整，得

v≤<（7＋√（1＋48n））/2>（v≥3）     （3）

这里我暂用< >来代替向下取整的符号。公式（2）就是可嵌入亏格为n的曲面上的最大完全图的顶点数。因为完全图的色数γ_完全就等于其顶点数v，即有γ_完全＝v，所以又有多阶曲面上图的色数是

γ_图≤<（7＋√（1＋48n））/2>（v≥3）     （4）

（4）式就是赫渥特的多阶曲面上的地图着色公式，推导过程中对图的亏格是没有施加任何限制的，所以它是适用于任何亏格的图的。

9、四色猜测的证明：分别把亏格是0，1，2，……，代入到公式中去，就得到各相应亏格曲面的色数分γ₀≤4，γ₁≤7，γ₂≤8，……。因为γ₀≤4，这也就使四色猜测得到了证明是正确的。

10、结论：四色猜测是正确的，可以上升为四色定理了！

雷  明

二一九年七月二十四日于长安

注：此文已于二一九年七月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是： 

http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3914