米歇尔斯基操作法证明四色猜测

——评论有人要给德·莫根平反

雷  明

（二○一七年十二月十九日）

最近，有人提出德·莫根早在150年前就证明了四色猜测，提出了“我要为德·摩根平反”的口号。我认为，仅凭证明了平面上不存在五个区域两两均相邻的情况，还不能说明四色猜测就是正确的。因此，我认为德·莫根并没有得到四色猜测就是正确的结论，也不存在一定“要为德·摩根平反”的问题。

1、平面上（亏格是0的曲面）存在着四个区域和三个区域两两均相邻的情况，其对偶图分别是完全图K₄，K₃和K₂，轮胎面（亏格是1的曲面）上存在着五个区域，六个区域和七个区域两两均相邻的情况，其对偶图也分别是完全图K₅，K₆和K₇，“8”字形曲面（亏格为2的曲面）和亏格为3的曲面上分别存在着八个区域和九个区域两两均相邻的情况，其对偶图也分别是完全图K₈和K₉。等等。现在我们先抛开曲面的亏格不说，只说含有完全图K_n的图的着色数，然后再研究亏格为0的曲面（平面）上图的着色数。

2、、既然完全图K_n中任意两个顶点都是相邻的，则含有K_n的团的图的着色数一定不会比n小，但其上界是多少呢，可以说没有上界。按照米歇尔斯基操（数学界称作M—操作）作原理，可以作一个图的色数比原基图的色数大1，但图中的最大团K_n仍然不变，仍然是K_n。比如一个K₂图，最大团是K₂，最大团的顶点数n是2，色数也是2，进行M—操作后，是一个5—圈，最大团仍是K₂，最大团的顶点数n仍是2，但5—轮的色数却是3，比基图K₂增大了1；再对5—轮进行M—操作，最大团仍是K₂，最大团的顶点数n仍是2，但色数却成了4，又增大了1；如此继续操作下去，始终是最大团仍是K₂，最大团的顶点数n仍是2，但色数却一次比一次增大了1。因此有“存在着无三角形而色数任意大的图”的说法。又由于在进行米歇尔斯基操作时的基图的最大团K_n可以是任意的，所以也就有含有任意的最大团K_n的图，其色数都是大于等于最大团的顶点数n的结论。这说明任何图的色数都是没有上界的。

3、德·莫根虽然证明了平面上不存在五个区域两两均相邻的图，说明平面上最大只能是四个区域两两均相邻，这只能说明含有四个域两两均相邻的平面图着色时的色数最少也一定不会小于4，但并不能说明含有四个区域两两均相邻的平面图的色数最大也一定不会大于4。

4、如何证明含有四个区域两两均相邻的平面图的色数也一定不会大于4，可以对只有四个区域，且是两两区域均相邻的平面图的对偶图K₄进行M—操作，得到的图虽然最大团仍是K₄，色数是5（大于4），但图却变成了一个非平面图，亏格由0变成1，这就不再是四色问题所研究的对象了。只有这样的证明，才能进一步说明含有四个区域两两均相邻的平面图着色时的色数最大也一定不会大于4。

5、至此，只说明了含有四个区域两两均相邻的平面图着色时，最多，也是最少，也得要用4种颜色，但这并不能说明四色猜测就得到证明是正确的，因为在平面图中还存在着不含有四个区域两两均相邻的图，而只含有三个区域两两均相邻的图的情况。这种情况，很显然，最少也得要用三种颜色，但最多得用多少种颜色呢，也还得要进行证明。

6、对只有三个区域，且是两两区域均相邻的平面图的对偶图K₃进行M—操作，得到的是一个最大团仍是K₃，但色数是4的平面图，对这个平面图再进行M—操作，得到的图就成了色数是5，最大团仍是K₃的非平面图，也不再是四色问题所研究的对象了。这也就证明了只含有三个区域两两均相邻的平面图着色时的色数最少是3，最大则也不大于4。

7、因为平面图中既可能含有四个区域两两均相邻的图，也可能只含有三个区域两两均相邻的图，所以就有任何平面图的着色数都不会大于4的对论。这就是四色猜测。四色猜测得到证明是正确的。

请网友们看后多提宝贵意见，如果对米歇尔斯基操作还不明白的话，请提出来，我可以单独再讲一次这个操作，也再带上图。

雷  明

二○一七年十二月十九日于长安

注：此文已于二○一七年十二月十九日在《数学中国论坛》上发表过，网址是：

http://www.mathchina.com/bbs/forum.php?mod=forumdisplay&fid=12