多阶曲面上图的欧拉公式是如何得来的

雷  明

（二○一七年五月二十二日）

对于多面体（平面图）欧拉公式，在文献和教课书中，有各种各样的证明方法，对于多阶曲面上图的欧拉公式，在沙特朗的《图论导引》一书中也有用数学归纳法进行的证明。这给人们一个印象是，欧拉公式好象是一个从经验中总接出来的公式，与四色猜想一样，也必须通过证明才能确定其是否正确，才可以进行应用。实际上这些证明同用着色的方法对平面图的不可免构形的所谓“证明”一样，都是在对命题进行验证而已，其根本的原理还是不能真正被揭开的。真正的证明应是进行数学上的严密推导后，从而得出的命题。平面上或多阶曲面上图的欧拉公式也是可以经过严密的数学推导而得到的。

1、亏格为0的平面图的欧拉公式的推导：

亏格为0的、不同顶点数v（v≥3）的平面图中的边数e和面数f：如下表一。

                                               （表一）

    根据表一，画顶点分别是3、4、5、6的极大图平面如图1。其中图1，a和图1，b又是完全图。从表一中可以看出，顶点数从3开始，每增加一个顶点，图的边数增加3条，面数增加2个。边数与面数分别和顶点数的关系是e＝3v－6和f＝2v－4。

用e＝3v－6减去f＝2v－4得：

e－f＝v－2

变形整理得

        v＋f＝e＋2                                     （1）

公式（1）就是平面图的欧拉公式。用同样的办法，也可以推导出其他亏格条件下图的欧拉公式。

http://s3/mw690/001MUq8Tzy7bjO4IoDwd2&690

2、亏格为1的非平面图的欧拉公式的推导：

亏格为1的、不同顶点数v（v≥5）的非平面图中的边数e和面数f：如下表二。

                                                                （表二）

2、1  根据表二，画环面（轮胎面）上的顶点数是5的极大图的展开图如图2。图2，a是K₅（K₅是完全图而非极大图）图的展开表示方法，有10条边，5个面；但图中有一个面，是由顶点2—3—5—2—4—5—3—4—2构成的八边形面（如图2，b），所以K₅图不是极大图；这个八边形面还可以分成6个三边形面，增加了5条边（也如图2，b），所增加的边分别是顶点2到5，顶点2到4，顶点2到3，顶点5到4和顶点3到4这五条边的一条平行边（如图2，c）。这样就使图中的边数增加到15条，面数增加到10个，使图变成了一个极大图。

http://s15/mw690/001MUq8Tzy7bjO6f1N4ce&690
http://s1/mw690/001MUq8Tzy7bjO7qqTC80&690

2、2  再根据表二，画环面（轮胎面）上的顶点数是6的极大图的展开图如图3。图3，a是K₆（K₆是完全图而非极大图）图的展开表示方法，有15条边，10个面；但图中有一个面，是由顶点2—3—6—4—3—5—2构成的六边形面（如图3，b），所以K₆图不是极大图；这个六边形面还可以分成4个三边形面，增加了3条边（也如图3，b），所增加的边分别是顶点2到3，顶点2到6和顶点3到6这三条边的一条平行边（如图3，c）。这样就使图中的边数增加到18条，面数增加到12个，使图也变成了一个极大图。

2、3  图4是根据表二，画在环面（轮胎面）上的顶点数是7的极大图的展形图。其中a和b分别是两个K₇（K₇图既是完全图又是极大图，边数最多是7×6÷2＝21，图中没有平行边）图的不同展开表示方法，有21条边，14个面；再在图中增加顶点时，每增加一个顶点，也只能增加三条边和两个面，才能保证图的亏格不变。

http://s8/mw690/001MUq8Tzy7bjO9cwrt57&690

2、4  根据以上（表二）和图2、图3和图4可以看出，亏格为1的极大图中每增加一个顶点，增加三条边和两个面，图的边数与面数和顶点的关系分别是e＝3v和f＝2v，两式相减得：

    e－f＝v即v＋f＝e                              （2）

（2）式与（1）式有明显的差别，需要变形把它们统一起来。

3、亏格为0和1的图的欧拉公式

把亏格为1的非平面图的e＝3v和f＝2v与亏格为0的平面图的e＝3v－6和f＝2v－4都进行变形，并把图的亏格参数n代入其中，使e＝3v－6和f＝2v－4分别变成e＝3v－6（1－n）和f＝2v－4（1－n），当n＝0时, 等于给等式e＝3v－6和 f＝2v－4右边的常数项各乘了一个1，其值不变；使e＝3v和f＝2v也分别变形成e＝3v－6（1－n）和f＝2v－4（1－n），当n＝1时,等于给等式e＝3v和f＝2v的右边各减了一个0，其值仍不变。但这一变化，却使得两种不同亏格的图的边数与面数和顶点数的关系式统一了起来，是有好处的。再用e＝3v－6（1－n）减去f＝2v－4（1－n），得到：

    e－f＝v－2（1－n）

变形整理得

        v＋f－e＝2（1－n）                             （3）

公式（3）就是亏格为0 和1的图的欧拉公式。代入（表一）和（表二）中的数据验证如下：

①　当n＝0和v＝6时，e＝3v－6（1－n）＝3×6－6×（1－0）＝18－6×1＝12，f＝2v－4（1－n）＝2×6－4×（1－0）＝12－4＝8，均与（表一）中的数据相同；

再把n＝0，v＝6，e＝12和f＝8代入欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）中得到，公式左边＝v＋f－e＝6＋8－12＝2，公式右边＝2（1－n）＝2×（1－0）＝2，左右相等，公式成立；

    ②　当n＝1和v＝8时，e＝3v－6（1－n）＝3×8－6×（1－1）＝24－6×0＝24，f＝2v－4（1－n）＝2×8－4×（1－1）＝16－4×0＝16，也均与（表二）中的数据相同；

再把n＝1，v＝8，e＝24和f＝16代入欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）中得到，公式左边＝v＋f－e＝8＋16－24＝0，公式右边＝2（1－n）＝2×（1－1）＝2×0＝0，左右相等，公式成立；

    4、多阶曲面上图的欧拉公式

我们现在还不会画出更高级亏格的图的展开图，虽然很难看清楚顶点与边和面间的关系，但却因为亏格n≥2时，一个亏格下只有一种完全图，我们可以利用亏格为0和1的图的顶点与边和面间的关系求得该完全图在极大图状态下的总边数和总面数。我们还知道在极大图中，以后图中每增加一个顶点时，仍是增加三条边和两个面。这样，我们就可以用上面得到的亏格是0和1时图的欧拉公式对其进行检验，看该公式是否也适用于亏格更高级的图。

4、1  亏格为n＝2，v＝8的极大图，最大顶点数是e＝3v－6（1－n）＝3×8－6×（1－2）＝24＋6＝30，最大面数f＝2v－4（1－n）＝2×8－4（1－2）＝16＋4＝20；因为以后再增加顶点时，每增加一个顶点，都是增加三条边和两个面，当然v＝9时，e＝33和f＝22；

把n＝2，v＝9，e＝33和f＝22代入上面得到的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）中得，公式左边＝v＋f－e＝9＋22－33＝－2，公式右边＝2（1－n）＝2×（1－2）＝2×（－1）＝－2，公式两边相等，公式对于亏格n＝2的图也是成立的。

4、2  亏格为n＝3，v＝9的极大图，最大顶点数是e＝3v－6（1－n）＝3×9－6×（1－3）＝27＋12＝39，最大面数f＝2v－4（1－n）＝2×9－4（1－3）＝18＋8＝26；同样以后再增加顶点时，每增加一个顶点，都是增加三条边和两个面，当然v＝10时，e＝42和f＝28；

把n＝3，v＝10，e＝42和f＝28代入上面得到的欧拉公式v＋f－e＝2（1－n）中得，公式左边＝v＋f－e＝10＋28－42＝－4，公式右边＝2（1－n）＝2×（1－3）＝2×（－2）＝－4，公式两边相等，公式对于亏格n＝3的图也是成立的。

4、3  继续再进行检验时，无论亏格是多大的图，上面由亏格为0和1的图所得到的欧拉公式也是适用于任意亏格的图的。所以说公式（3）v＋f－e＝2（1－n）也就是多阶曲面上的图的欧拉公式。同时，上面得到的图的边数与面数和顶点间的关系，e＝3v－6（1－n）和f＝2v－4（1－n），也就一定适用于任意亏格的曲面上的图了。这样通过严密的数学推导，所得到的欧拉公式是不需要再进行证明的。因为严密的数学推导过程就是证明的过程。

4、4  从以上的研究可以看出，同亏格曲面上的同顶点数的图，以完全图的边数e＝v（v－1）/ 2为界，边数小于e＝v（v－1）/ 2者是非完全图，边数等于e＝v（v－1）/ 2者是完全图，这两者均是单纯图；而边数大于于e＝v（v－1）/ 2者是则是多重图，因为图中有平行边。当边数等于e＝3v－6（1－n）时，图就成了极大图，所有的面均是三边形面了。所以在同亏格的曲面上，相同顶点数的图中，按边数的多少排序时，图的顺序是：非完全图的边数≤完全图的边数≤极大图的边数。因为有些图既是完全图，又是极大图，如K₃，K₄，K₇等，所以又有：单纯图的边数≤多重图的边数。同样，图的面间也有相应在的关系。在相同亏格、相同顶点数的图中，不管图是完全图还是多重图，顶点着色数都是相同的，因为平行边和环是不影响图的顶点着色数的。

雷  明

二○一七年五月二十二日于长安

注：此文已于二○一七年五月二十三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=3352&start=0#1