正多面体种类的又一证明方法

雷  明

（二○一六年七月三日）

地图是一个3—正则的平面图（顶点数v≥3），地图中至少含有一个边界条数小于等于5的国家，也就相当于3—正则平面图中至少存在一个边数小于等于5的面。证明如下：

在一个3—正则的平面图中，若用f_i表示有i（i≥2）条边的面数，则图中的面数为f＝∑f_i，边数则为e＝{∑（i·f_i）}/ 2，由于3—正则图中的顶点全是3—度顶点，应有的3v＝2e的关系，所以该3—正则图中的顶点数v＝｛∑（i·f）_i｝/ 3。

把v，f，e代入平面图的欧拉公式v＋f＝e＋2中得

｛∑（i·f_i）｝/ 3＋∑f_i＝｛∑（i·f_i）｝/ 2＋2

两边同乘以6得

2｛∑（i·f_i）｝＋6∑f_i＝3｛∑（i·f_i）｝＋12

化简后得

6∑f_i－∑（i·f_i）＝12

变形得

∑（6·f_i）－∑（i·f_i）＝12

即

∑{（6－i）f_i｝＝12

也即

（6－2）f₂＋（6－3）f₃＋（6－4）f₄＋（6－5）f₅

＋（6－6）f₆＋（6－7）f₇＋……＋（6－i）f_i＝12

或者

4f₂＋3f₃＋2f₄＋f₅―f₇―2f₆―3f₉―……―（6－i）f_i＝12

上式第四项以后全是负数，公式右边又等于12，是正数。所以要保证公式左边也是正值时，公式左边的前四项中就必须至少有一项的系数（个数）是不等于0的。这就说明了3—正则的平面图中，至少有一个面的边数是小于等于5的，或者说在3—正则的平面图中，边数小于等于5的面，至少要存在一个，也即至少有一个这样的面的个数是不为0的。

以上这个公式除了说明地图中至少存在一个边界条数小于等于5的国家外，还可以用来证明正多面体的种类。

由于任何多面体都对应着一个图，而简单的多面体则对应着一个平面图，正多面体对应的图应是所有面都是同边数的多边形面。当公式∑（6－i）f_i＝12中只有一项时，即图中全都是相同边数的面时，就是正多面体。由于多面体的面不可能是2边形的，又因为当i＞5时，（6－i）成了负值，所以这里i分别只能取值是3，4，5三种：

当i＝3时，（6－3）f₃＝12，f₃＝12/3＝4，即有4个3边形面，是一个正四面体，每个顶点都连有3条边；

当i＝4时，（6－4）f₄＝12，f₄＝12/2＝6，也即有6个4边形面，这是一个正六面体，每个顶点也都连有3条边；

当i＝5时，（6－5）f₅＝12，f₅＝12/1＝12，也即有12个5边形面，这是一个正十二面体，每个顶点也都连有3条边；

由于图的对偶图的顶点数就是原图的面数，而对偶图的面数则是原图的顶点数；又由于正多面体的面都是同边数的面，各顶点都连有相同数量的边；所以应该有正多面体的对偶图也是正多面体的结论；还由于3—正则图的对偶图是极大图，极大图的面均是三边形，所以也应该有正四面体，正六面体和正十二面体的对偶图也是所有面都是三边形的正多面体：

正四面体是一个K₄图，K₄图又是一个自对偶图，所以正四面体的对偶图仍是正四面体；

正六面体的对偶图的顶点数是6，面数是8，各面都是3边形面，每个顶点都连着4条边，这是一个正八面体；

正十二面体的对偶图的顶点数是12，面数是20，各面也都是3边形面，每个顶点都着5条边，这是一个正二十面体。

到此，证明了正多面体只有以上的五种：即正四面体，正六面体，正八面体，正十二面体和正二十面体。

雷  明

二○一六年七月三日于长安

注：此文已于二○一六年七月三日在《中国博士网》上发表过，网址是：

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