几种亏格为0的曲面

雷  明

（二○一五年四月六日）

我们已经知道平面与球面是可以相互转化的，它们的亏格都是0。那么还有没有别的曲面的亏格也是0呢。回答是，一定还有。

我们已经知道多阶曲面上图的欧拉公式对于任何亏格的图都是适用的，那么通过这一公式也应该是能求出某种曲面的亏格的。

现在我们先在柱面上画一个K₄图（如图1），图中有4 个顶点，4 个面，6条边，代入多阶曲面上图的区拉公式V＋F－E＝2－2n得4＋4－6＝2－2n，解之得n＝0。所以柱面的亏格是0。

http://s1/mw690/001MUq8Tzy6RhgpzbaM00&690
    抛物线和双曲线绕抛物或双曲轴旋转一周，得到的曲面是抛物面和双曲面，它们都可以展开成平面，所以抛物面和双曲面的亏格也是0；抛物线和双曲线平行移动，得到的两种曲面都可以展开成平面，所以这种曲面的亏格也都是0；抛物线和双曲线以坐标原点中心，绕一个坐标轴旋转一周，得到的曲面可以展开成柱面，所以这样的曲面的亏格也是0。

马鞍形曲面也能展开成平面，所以马鞍形曲面的亏格也是0。

一个园或椭园平行移动，得到的是柱面，亏格是0；园心在原点上的园旋转一周，得到的是一个球面，基亏格是0；但若园位于原点的一侧，以原点为中心，绕某一坐标轴旋转一周，得到的曲面则是一个轮胎面，即环面，其亏格就变成了1。

雷  明

二○一五年四月六日于长安

注：此文已于二○一五年四月六日在《中国博士网》上发表过，网址是：

http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2444&show=0