关于图与曲面的亏格
——兼论四色猜测的证明
雷  明
（二○一四年十二月二十四日）

    关于图的最小完全同态的亏格是如何一定小于等于其原图的亏格，在这里还得要再多说几句。
    1、曲面的亏格
    我们知道，一个橡皮膜球面，从一点用针剌破，可以展开成平面。而面平面的无限远点最终合为一点即成球面。我们可以把曲面的亏格理解成在球面上所“焊接”“环柄”的个数，球面本身是没有环柄的，所以球面的亏格就是0，球面上有几个环柄该曲面的亏格就是几。曲面上有几个环柄就有几个洞，由于曲面的拓扑性，所以也可以说曲面上有几个孔洞穿过，曲面的亏格也就是几。无论曲面的形状怎么变化，其上的穿过孔洞数是不会变化的，这就是曲面在连续变化中的不变性。如轮面（也叫环面）上有一个穿过孔洞，其亏格就是1；眼镜匡面（也叫8字形曲面）上有两个穿过孔洞，其亏格就是2；等等；当然，球面上没有穿过孔洞，其亏格就是0。
    2、图的亏格
把一个用橡皮筋结成的图（结点是图的顶点，结点以外橡皮筋是图的边）“套”（网）在一个曲面上，如果除了图的顶点是两条以上边相交形成的外，其它别的地方再也不存在边与边相交叉的性况时，就说这个图嵌入在了该曲面上。一个图所能嵌入的所有曲面的最小亏格也就是这个图的亏格。如K5和K3，3虽然都能嵌入到轮胎面和眼镜匡面上，但轮胎面的亏格最小，是1，所以K5和K3，3的亏格也就都是1。平面图是可以嵌入到任何曲面上，除了顶点外其它任何地方都没有边与边相交叉的情况的图，但只有球面（或平面）的亏格最小，是0，所以平面图的亏格也就是0。
    3、图的同化运算
把图中不相邻的顶点凝结在一起的过程叫图的“同化”运算。同化一次，所得到的图就叫原图的一个同态。同态也是一个图，还可以再进行同化运算。一个图同化的最后对果，一定能得到一个顶点数不可再少的完全图，这就叫原图的最小完全同态。可见同化运算是一个把图的顶点数与边数同时进行缩少（减小）的过程，每同化一次所得到的同态的顶点数都一定是小于其同化前的同态的顶点数的，当然最小完全同态的顶点数也一定小于原图的顶点数。
    4、图的同化与着色
同化是把不相邻的顶点凝结成一个顶点的过程，而着色则是可以把不相邻的顶点着以相同的一种颜色。图的最小完全同态的每一个顶点都代表着若干个在原图中互不相邻的顶点，这些顶点着同一种颜色是完全符合要求的。所以图的最小完全同态的顶点数就应是原图的色数，即任何图顶点着色的色数就等于其最小完全同态的顶点数。
    5、图最小完全同态的亏格
图的最小完全同态既是一个图，它也就应具有其应有的参数——亏格值。那么图的最小完全同态的亏格与原图的亏格是个什么关系呢？
上面说了，图的最小完全同态是通过同化运算得来的，且同化运算是图的顶点数与边数在不断减少的过程。可以说同化过程中，图本身也是处在一个由复杂图到简单图的变化过程中。这一变化表现在最小完全同态的顶点和边数都是比原图减少了很多的。
    最小完全同态的顶点数与边数都比原图少了，那么其亏格也一定不会大于原图的亏格。我们不仿假设最小完全同态的亏格大于原图的亏格，采用反证明法进行证明。既然最小完全同态的亏格大于原图的亏格，那么它一定是不能嵌入到与原图同亏格的曲面上的。这一点是不可含乎的。但这一点也是不可能成立的。因为同化过程本身就是在与原图同亏格的曲面上进行的，最小完全同态仍是“套”在原亏格曲面上的，最小完全同态中也没有出现交叉边，应该说最小完全同态是嵌入在该亏格曲面上的图。
    但原图嵌入的曲面的亏格，是否就是该最小完全同态的亏格，还仍然不能确定。因为图的亏格是其所能嵌入的所有曲面的最小亏格，而原图所嵌入曲面的亏格不一定就是该最小完全同态所能嵌入的曲面的最小亏格。但至少可以肯定，该最小完全同态的亏格一定是不会大于原图所能嵌入的曲面的亏格的，即最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的。这与原假设产生矛盾，否定假设。所以就有图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的。
    例如，K3，3图的亏格是1，它是能嵌入到亏格为1的轮胎面上的。而K3，3图同化的最小完全同态却是K2，既能嵌入到亏格为1的轮胎面上，也能嵌入到亏格为0的球面（平面）上，球面的亏格0是最小的，所以K3，3图的最小完全同态的亏格是0。的确K2确实就是一个平面图，其亏格就是0。
    6、图的最小完全同态的亏格与四色猜测的证明
由于图的最小完全同态的亏格一定是小于等于原图的亏格的，所以亏格为0的平面图的最小完全同态的亏格一定仍是等于0的。亏格等于0的完全图只有K1、K2、K3和K4四种，所以所有平面图同化的最后结果都将是这四种完全图中的一种。K1、K2、K3和K4的顶点数分别是1、2、3和4，均是小于等于4的。因为图的色数就等于其最小完全同态的顶点数，所以任何平面图的色数也就均是小于等于4的。这就证明了四色猜测是正确的。

                      雷  明
         二○一四年十二月二十四日于长安

注：该文已于二○一四年十二月二十四日在《中国博士网》上发表过，网址是：
http://www.chinaphd.com/cgi-bin/topic.cgi?forum=5&topic=2349&show=0