偶然间翻到人教版高二数学书上册P98页,看到了圆锥曲线的光学性质,今天有时间就将其中椭圆光学性质用解析几何的方法证明下.

         椭圆的光学性质描述如下:

         从椭圆的一个焦点发出的光线,经过椭圆反射后, 反射光线交于椭圆的另一个焦点上,图示如下:

        简单的证明方法是: 设从F1出发的光线交椭圆于x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1的点P(a*cosθ,b*sinθ), 则过P点的切线即入射光线的水平面所在直线L的切线可以很容易的求出(具体求解过程请参看下面的word文档)：

                                                        kL = - b*cosθ/(a*sinθ)              (这个可以作为一般结论进行掌握, 更一般的可以记作：kL = -x0*b^2/(y0*a^2), 其中, P(x0, y0))

        入射光线PF1斜率为：

                                                        k1= b*sinθ/(a*cosθ+c),

        连接PF2, 只需由L到PF1所成角即图示中的θ1和由PF2到L所成的角θ2的正切相等, 利用光学的入射角和反射角相等即可说明PF2所在直线即为反射光线, PF2的斜率可以表示成：

                                                        k2 = b*sinθ/(a*cosθ-c)

       那么入射角θ1可以由L到PF1所成角来求得：

                                                        tanθ1 = (k1-kL)/(1+kL*k1) = b/(c*sinθ)

       θ2可以由PF2到直线L所成的角来求得：

                                                        tanθ2 = (kL-k2)/(1+kL*k2) = b/(c*sinθ)

       显然有：

                                                        tanθ1 = tanθ2

       即：

                                                        θ1 = θ2, 即PF2即为反射光线所在直线, 证明完成.

      求解过程难度不大，但是要求我们能够有足够的耐心和计算能力，这个是需要在大量的习题练习之后才能培养的。

       切线斜率求解过程请下载word文档查看, 链接如下：

       http://scucloud.gicp.net:8081/download/%E6%A4%AD%E5%9C%86%E5%85%89%E5%AD%A6%E6%80%A7%E8%B4%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E8%AF%81%E6%98%8E.doc