探索自由天空博客第十三部分：数论的圆对数应用

13、圆对数、自然对数、常用对数的统一性

考察“常用对数a^x”，“自然对数e^x” 与“圆对数（o^x）”，相互间有怎样的联系？

早在1614年纳彼尔在《奇妙对数表的构建》写成在二项式中，选择了类似牛顿二项式的 [1+（1/n）]^10.7，建立了Y = Naplogx,称纳彼尔对数，即：

Y = a^x,  或：x = log y；

也就是说，任意一个数值（函数）都可以转化为特定的一个数值（a =10）的自乘。

1727年年轻的欧拉也引用牛顿推导T_n = [（1+（1/n）] ⁿ的展开式，当n趋于无穷时，这个级数会收敛于同一个极限值。由二项定理，得：T_n = [（1+（1/n）] ⁿ的展开式，证明，即：E = lin[1+(1/n)]ⁿ = 1+1/（1!）+1/（2！）+1/（3！）+…1/（n!）= 2.718281828…；

十年后，1737年欧拉证明了e是无理数。1748年欧拉发现了著名的欧拉公式（e^iπ+1 =0）后又推导有（e^π+ e^iπ）/ 2 = 1。直到1791年欧拉去世后的第8年，才由他人建立了以e为底的对数式，即：

Y = e^x，或：x = ln y；

同时证明，e^x  = ln (1+X_n)ⁿ,上述二个式子为互逆关系；

1840年法国数学家刘维尔证明e不是任何二次方的解。e对数让人接受了。也就是说任意一个数值（函数）都可以转化为特定的一个数值（e= 2.718281828…）的自乘。

1982年本博客作者。开始发现圆对数（o^x）（保留有1982年5月24日退稿件，当时对圆对数概念称“系数”。其中引用牛顿二项定理T_n = [（1+（1/n）] ⁿ展开中的圆对数展开式。以后不断地拓展。建立了以圆对数为底的对数式，称“相对性结构—圆对数”。即：

Y = o^x =（1-η²）^x， o =（1-η²）， x = ck= sk， k = -1,0,+1；

其中：c表示等差函数，s表示等比函数，k表示幂（指数）性质；

Y = o^x 圆对数，Y = e^x自然对数，Y = a^x常用对数，三种对数尽管表现不一，都是从牛顿二项式展开中推导出来的。都有大致相同的计算规则。

（a^x）—（e^x）：的计算规则特征：固定的底数，幂次自变量与底数没有直接关系；

（o^x）：圆对数的计算规则特征：相对可变的底数，幂次自变量与底数的结构因子同步变化。

（o^x）——（a^x）——（e^x）：同祖同宗具统一性，可相互转化，有：（1-η_e²）^x ——（1-η_a²）^x ——（1-η_o²）^x。但圆对数（o^x）的计算方法却比传统应用的（e^x ，a^x）更为简便、广泛。圆对数和平地包容了常用对数与自然对数的组合计算规则，如：

（1）、（1-η_e²）^x  = e^x；

（1-η_e²）  = e， η_e =  [1-（1/e）] ^1/2 ；                        ———（13.1）

（1-η_e²）^x  = [（1-η_e²）^+x +（1-η_e²）^-x ] / 2

=（e^x + e^ix）/ 2                                                  ———（13.2）

（2）、（1-η_a²）^x  = 10 ^x；

      （1-η_a²）=10， η₁₀ =[1-（1/10）] ^1/2 ；                    ———（13.3）

（3）、（1-η_o²）^x  = o ^x；

（1-η_o²）= 0,1 ；η₀  =[1-（1/10）] ^1/2 ；                        ———（13.4）

（1-η_o²）^x  = [（1-η_o²）^+x +（1-η_o²）^-x ] / 2

=（o^+x+ o ^-x）/ 2；                                               ———（13.5）

讨论：（a^x）—（e^x）中，（a,e）分别以固定底值（e = 2.718281828, a = 10）的自乘，在应对任意数（函数）中出现的幂指数（x）大多成为复杂的指数函数（exp），表现为η_e =  [1-（1/e）] ^1/2 及η₁₀ =[1-（1/10）] ^1/2为定值，底数因子（模）（η_e ，η₁₀）与幂次（x）不能同步。如在量子理论中指数函数（exp）有一套计算方法。广义上来说，这种指数函数因底数因子与幂次不能协调，带来诸多不便，最好的指数函数（exp =2.3…），达不到理想的“好算法”。

（o^x）中，以相对可变的圆函数（1-η²）为底的自乘，底数（模）（η）与幂次（x）紧密地同步变化，可以将指数函数（exp）变量与结构因子（0≤η≤1）变量同一处理。特别，在圆函数为底的相对变化中，应对任意数（函数）中，指数函数最终结果是（0≤∑ηc_i（或∑η_i^s）≤1）成为简单函数的周期函数（0≤（1-η₀²）^±z =（1-η₀²）^±1≤1），使指数函数计算简化（exp =1）。计算时间达到最小，达到理想的“好算法”。

圆函数展开及证明中引用并拓展牛顿二项式转化为相对性形式。叙述如下：

【命题13.1】对牛顿二项式（1-X²）= 1+X+ X²+ X³+ X⁴+ X⁵+… =（1- X²）⁺¹ +（1- X²）^-1

作相对性展开。其中X为任意未知量， X = ∑（1/n）X_i （取遍所有未知量的算术平均值）。

设：η_i =（X₀ -X_i）/ X₀，0≤η≤1，成为周期函数，代入上述代数式中（X）；

得：    （1-η²）= 1-η+η²-η³+η⁴+η⁵+ …

= (η⁰+η²+η⁴+η⁶+ …+η²ⁿ）- (η¹+η³+η⁵+η⁷+η^2n-1)

=（1-η²）^-n+ （1-η²）⁺ⁿ

=（1-η²）^-1+ （1-η²）⁺¹ ；                                       ———（13.6）

其中：（1-η²）^-1= (η²+η⁴+η⁶+ …+η²ⁿ） 为偶数列级数

（1-η²）⁺¹= (η¹+η³+η⁵+ …+η^2n-1）为奇数列级数

及： （1-η²） = ∑（1-η_i²）ⁿ =（1-η_a²）ⁿ+（1-η_b²）^n-1+…+（1-η_m²）¹；（13.7）

及： （1-η²） = ∏（1-η_j²）ⁿ =（1-η_a²）ⁿ·（1-η_b²）^n-1·…·（1-η_m²）¹；（13.8）

式中： η = ∑η_i  ；或 η = ∑η_i^s ； （1-η²）^-1 与（1-η²）⁺¹互逆。（证毕）；

建立 “（1-η²）—（η）”及“（1-η²）—（η^s）”对应关系及其独特的计算规则。（“相对性结构—圆函数”计算规则另见本博客附录一）（2013.4.18）