超越函数是使三维球空间中则成为“复合体结构”的描述。在量子理论较多地使用，具有举足轻重的地位，不能怠慢它。证明：

（1）若：引入球直角坐标体系，得到三维圆“单体结构”和三维球“复合体结构”，也就是说（f（x）,g（x）可以单独或同时出现。

（ⅰ）单体结构性球（r = f（x））的球方程式：

           W =（1-η_(f±g) ² ）W₀ =（1-η_r ² ）W₀             （2）

（1-η_r ² ）=（1-η_r ² ）i＋（1-η_r ² ）j＋（1-η_r ² ）k

（ⅱ）复合结构性：r = f（x）+ g（x）的球方程式：

（1-η_r ² ）^k  =｛（1-η_(f) ² ）i+（1-η_(f) ² ）j+（1-η_(f) ² ）k

±（1-η_(g) ² ）μ+（1-η_(g) ² ）ν+（1-η_(g) ² ）k｝^k；

（2）若：引入球极坐标体系，就成为超越函数球方程式。

已知：超越函数球皆为正交函数系。以球三角函数为例：

X = r(r_x) = r sinθcosφ

Y = r(r_y) = r sinθsinφ

z = r(r_z) = r cosθ

式中：Θ(θ_n(xyz)) = [sinΘ(θ_{n(xyz)± (μνz)}) + cosΘ(θ_{n(xyz)± (μνz)})] ；

ф(φ_n(xyz)) = [(sinф(φ_{n(xyz)± (μνz)}) + cosф(φ_{n(xyz)± (μνz)}))；

设：|η_x| =（x₀-x）/x₀

= sinΘ(θ)·cosф(φ) / sinθ(θ₀) ·cosф(φ₀)

= sinΘ(θ₀±△θ)cosф(φ₀±△φ) / sinΘ(θ₀)cosф(φ₀)

= [sinΘ(θ₀)cosф(φ₀)- sinθ(△θ)cosф(△φ)]

/ [sinθ(θ₀)cosф(φ₀)]

        =［1-(sinΘ(△θ)cosф(△φ)/sinΘ(θ₀)cosф(φ₀)]

        = (1-(η_sθη_cφ)]

        = (η_fx±η_gx) = η_(f±g)x                    

同理得：

|η_y| =（y₀-y）/y₀ = (1±η_sθη_sφ) = (η_fy±η_gy) =η_(f±g)y  

|η_z| =（z₀-z）/z₀ = (1±η_cθη_cφ) = (η_fz±η_gz) =η_(f±g)z 

其中：（△ = θ₂－θ₁ = φ₂－φ₁）

η_sθ  = sinΘ(△θ)/ sinΘ(θ₀)；η_cθ  = cosΘ(△θ)/ cosΘ(θ₀)；

    η_sφ  = sinф(△φ) / sinф(φ₀)；η_cφ = cosф(△φ) / cosф(φ₀)；

η_fx  = η_△x ＝ η_fθ η_cφ； η_fy=η_△y＝η_fθ η_fφ；η_fz=η_△z＝η_cθη_cφ；

η_f =（1/3）（η_fx²+η_fy²+η_fz²）^1/2 = 1

η_gx  = η_△g ＝η_gθ η_gcφ；η_gsy=η_△ky＝η_gθη_gφη_gz=η_△kz＝η_gθη_gφ；

η_g  =（1/3）（η_gx²+η_gy²+η_gz²）^1/2 = 1

得：（1-η_fθη_cφ）= η_fx ±η_gx  = η_(f±g)x  = η_rx

（1-η_fθη_sφ）= η_fy ±η_gy  = η_(f±g)y  = η_ry

（1-η_fθη_cθ）= η_fz ±η_gz  = η_(f±g)z  = η_rz                            

有：（1-η_r²）=（1-η_rx²）i +（1-η_ry²）j +（1-η_rz²）k

  =［（1-η_fx²）i +（1-η_fy²）j +（1-η_fz²）k］

    ±i² [（1-η_gx²）]μ+（1-η_gy²））v +（1-η_gz²））z]

  =（1-η_f²）±（1-η_g²）

  = ∏（1-η_f²）（1-η_g²）     

  = (1-η_(f±g)²)

 = (1-η_r²)                               

η_r =｛（1/2）[1-(η_f±η_g）²]｝^1/2

上述原理对椭圆球函数、双曲圆球函数也能适应。仅是(1-η_r²)^k中；

（1）k = 0 ，适用于圆球三角函数：

（Θ =（sin,cos,…）（θ））（Φ=（sin,cos,…）（φ））；

（2）k > 0 ，适用于椭圆球函数：

（Θ =（sn,cn,…）（θ））（Φ=（sn,cn,…）（φ））；

（3）k < 0 适用于双曲圆球函数

（Θ =（sh,ch,…）（θ））（Φ=（sh,ch,…）（φ））；

（4）球函数的极坐标表述：

Ψ(r,θ,φ) = R（r）Θ（θ）Φ（φ）= R（r）Ω

=（1－η_r ² ）^k    R（r₀）Ω₀

=（1－η_Ω ² ）^{k ＇}R（r₀）Ω₀

Ω = Θ（θ）Φ（φ）；

Ω₀ = Θ（θ₀）Φ（φ₀）；

这里：（1－η_r ² ）^k与（1－η_Ω ² ）^{k ＇}互为反比（共轭性）；