一般的波是由若干种以至无限多种谐波叠加而成的，往
　　往仍然是非局域性的。但是，在特定条件下，叠加后的波有
　　可能是局域性的，犹如被某种曲面包裹住那样。这种局域性
　　的波就叫做“波包”。举一个例子：取一根均匀而又较长的
　　橡皮绳，让它的一端固定在墙上或别的什么上，另一端握在
　　手中，拉直。起初，该系统处于静止状态。后来，握绳的手
　　突然抖动了一下后又回到了原来的位置并重新静止下来。此
　　后就会看到绳上有一个隆起的形状在移动，这个隆起的部分
　　就叫做“波包”。
　　波包是波的一个特殊的品种，用以描述波包状态的代数
　　函数仍然叫做“波函数”。
　　波包的局域性并不是很严格的。人们在收听广播时接收
　　到的是电台发来的电磁波，电台总有停播的时候，所以这种
　　电磁波肯定是局域性的，但习惯上不把这种局域性的波称为
　　波包。在量子力学里，薛定谔所说的波包是指微观粒子，其
　　尺寸就是粒子的尺寸。如果用波函数来描述它，那么就会发
　　现，波函数在任意大的范围内都不会严格等于零。这时的所
　　谓“局域”，实际上是指“主要分布区域”。
　　从数学形式上看，ｋ和ｘ在波函数里是处于完全平等的
　　地位，所以波的概念不是坐标空间里特有的。坐标空间的波
　　在ｋ空间里(或动量空间里)仍然是波，ｋ空间里也有波包。

波包

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在物理学里，一个波包是一群平面波在空间的一个小区域内的叠和。这些平面波都有不同的波数、波长、相位、波幅，都分别地建设性干涉于空间的一个小区域。依据不同的演化方程式，在传播的时候，波包的包络线（素描波包轮廓的曲线）可能会保持不变（没有色散，如图右），或者包络线会改变（有色散）。在量子力学里，波包有个特别的意思：波包被铨释为粒子的机率波，而在任何位置，任何时间，机率波波幅的绝对值的平方，就是在那个位置，那个时间，找到粒子的机率密度。在这方面，它的功能类似波函数。

类似在经典力学里的哈密顿表述，在量子力学里，应用薛丁格方程式，我们可以追溯一个量子系统随着时间的演化。波包是薛丁格方程式的数学解答。在某些区域内，波包所囊括的面积的平方，可以铨释为找到粒子处于那区域的机率密度。

采用坐标表现，波包的位置给出了粒子的位置。波包越狭窄，粒子的位置越明确，而动量的分布越扩散。这位置的明确性和动量的明确性，两者之间的轻重取舍是海森堡不确定原理的一个标准例子。

目录 [隐藏] 1 背景 2 波包计算范例 3 参考文献 4 参阅

[编辑] 背景

早在十七世纪，牛顿就已创始地建议光的粒子观：光的移动是以离散的束包形式，称为光微粒。可是，在许多实验中，光表现出了波动行为。这使科学家们渐渐地倾向于波动观，认为光是一种传播于介质中的波动。特别著名的一个实验是英国科学家托马斯·杨在 1801 年设计与研究成功的双狭缝实验。这实验试图解答光到底是粒子还是波动的问题。从这实验观测到的干涉图案给予光的粒子观一个致命的打击。大多数的科学家从此接受了光的波动观。

在 20 世纪初期，科学家开始发现经典力学内在的许多严重的问题，许多实验的结果，都无法用经典理论来解释。一直到 1930 年代，光的粒子性，才真正地被物理学家广泛接纳。在这段时间，量子力学如火如荼的发展，造成了许多理论上的突破。许多深奥的实验结果，都能够得到圆满合理的解释。例如，1905 年，爱因斯坦对光电效应的理论解析。

量子力学表述的最重要的概念之一，就是，光是以离散的一堆堆形式存在，称为光子。光子的能量 是频率 的离散函数：

；

其中， 是正值整数， 是普朗克常数。

光子的离散能量概念，化解了经典力学一个很严重的问题，就是紫外灾难。

在整个二十世纪，量子力学蓬勃的持续发展。它所展现的一幅图画，是一个粒子的世界。在这世界里，所有的物质都是由粒子造成的，所有的现象都是由粒子的互相作用产生的，这些粒子的量子行为都可以用机率波来描述。所有的量子行为都被约化为这些机率波的数学计算。量子世界的粒子本质以被许多实验证实，而波动现象可以被描绘为粒子的波包本质的特征。

波包计算范例

举一个非色散传播的范例，思考波动方程式：

；

其中， 是波动函数， 是时间， 是波动在某介质里的传播速度。

采用物理时间常规 ，波动方程式的平面波解答是

；

其中， 是位置向量， 是波数向量，是角频率。

为了满足平面波为波动方程式的解答，角频率和波数的色散关系式必须成立：

。

为了简化计算，只思考一维空间的波动，则波动方程式的一般解答是，

；

其中，方程式右边的第一项目表示往正 方向传播的波动，第二项目表示往负 方向传播的波动。

一个波包是一群波动的叠和，所产生的局部区域的扰乱。假若，波包是强劲存在于局部区域，那么，我们需要更多的频率来达成局部区域内的建设性叠加，与局部区域外的破坏性叠加。这样，从一个基本的波解答，一个一般的波包可以表达为

；

其中，因子 是由傅立叶转换的常规而设定，振幅是线形叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数可以表达为

；

其中， 是波包在初始时间 的函数形式。

所以，知道波包在时间 的函数形式 ，借由傅立叶转换，我们可以推演出波包在任何时间的函数形式。

例如，选择初始时间的函数形式为

。

经过一番运算，可以得到

、

。

这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。

再举一个有色散传播例子，思考薛丁格方程式，

。

其解答的色散关系式为

。

简化问题为一维问题。经过一番运算，满足初始条件 的解答是

。

观察这波包的色散行为。取解答的绝对值，

。

这色散波包传播的群速度是常数 。波包的宽度相依于时间，根据公式 随着时间增加。

波包计算范例

举一个非色散传播的范例，思考波动方程式：

；

其中， 是波动函数， 是时间， 是波动在某介质里的传播速度。

采用物理时间常规 ，波动方程式的平面波解答是

；

其中， 是位置向量， 是波数向量，是角频率。

为了满足平面波为波动方程式的解答，角频率和波数的色散关系式必须成立：

。

为了简化计算，只思考一维空间的波动，则波动方程式的一般解答是，

；

其中，方程式右边的第一项目表示往正 方向传播的波动，第二项目表示往负 方向传播的波动。

一个波包是一群波动的叠和，所产生的局部区域的扰乱。假若，波包是强劲存在于局部区域，那么，我们需要更多的频率来达成局部区域内的建设性叠加，与局部区域外的破坏性叠加。这样，从一个基本的波解答，一个一般的波包可以表达为

；

其中，因子 是由傅立叶转换的常规而设定，振幅是线形叠加的系数函数。

逆反过来，系数函数可以表达为

；

其中， 是波包在初始时间 的函数形式。

所以，知道波包在时间 的函数形式 ，借由傅立叶转换，我们可以推演出波包在任何时间的函数形式。

例如，选择初始时间的函数形式为

。

经过一番运算，可以得到

、

。

这个波包的实值部分或虚值部分的非散色传播展示于前面动画。

再举一个有色散传播例子，思考薛丁格方程式，

。

其解答的色散关系式为

。

简化问题为一维问题。经过一番运算，满足初始条件 的解答是

。

观察这波包的色散行为。取解答的绝对值，

。

这色散波包传播的群速度是常数 。波包的宽度相依于时间，根据公式 随着时间增加。

[编辑] 参考文献

• J. D. Jackson (1975). Classical Electrodynamics (2nd Ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-43132-X.
• Leonard I. Schiff (1968). Quantum mechanics (3rd ed.). London : McGraw-Hill.