之前转载了一篇博客，介绍了KPCA的推导，作者主要是参考、翻译了另一篇博客http://zhanxw.com/blog/2011/02/kernel-pca-原理和演示/，这里讲KPCA的整个过程很详细，还有R实现的代码，很不错！建议保存下来看，这个网站有时候上不去。

    理论明白了，如果想在matlab里实现KPCA或者真正去用它，可以参考如下两个代码：

    博客http://blog.sina.com.cn/s/blog_7671b3eb01012d9s.html中实现了KPCA的整个过程，但把特征向量的去单位化注释掉了，实际上这段代码是必要的（因为eig解得的特征向量是单位化的，但实际要求的向量长度不是1，详见公式推导）；代码的最后还有新数据在特征空间的投影。

    还有一个实现的代码是matlab exchange上的http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27319-kernel-pca，代码的每一步都有英文说明，代码挺规范的，只是最后没有新数据向特征空间的投影代码。

    上面的有助于加深对KPCA的理解，如果真正要用，可以用stprtool模式识别工具箱的kpca函数，使用很方便，如下例子，这段代码用KPCA实现对一个二维圆的降维处理，可以看到效果很好：

% 3.3 Kernel Principal Component Analysis
clc
clear
close all

% generate circle data
X = gencircledata([1;1],5,250,1);

% compute kernel PCA
options.ker = 'rbf'; % use RBF kernel
options.arg = 4; % kernel argument
options.new_dim = 2; % output dimension
model = kpca(X,options);

XR = kpcarec(X,model); % compute reconstruced data

% Visualization
figure;
h1 = ppatterns(X);
h2 = ppatterns(XR, '+r');
legend([h1 h2],'Input vectors','Reconstructed');

    另尝试编写的一个代码如下，实现对3类数据特征空间的聚类，如下图，红、绿、蓝三种颜色分别表示3类数据，经过rbf核映射到新的空间后，分别聚成了3类：

    这里使用的是rbf核，还可以使用多项式核或sigmoid核，要想得到好的结果就要不断改变核参数，rbf效果好调一些，sigmoid不易找到好的参数，多项式核在一些范围效果不错，但两个参数调整需要好好找找，如下为一个多项式核函数的结果

    注意，如果你测试代码，结果不一样很正常，因为gencircledata函数产生的数据有随机成分在。

% 3.3 Kernel Principal Component Analysis
clc
clear
close all

% generate circle data
X0 = gencircledata([1;1],1,250,0.1);
X1 = gencircledata([1;1],3,250,0.1);
X2 = gencircledata([1;1],6,250,0.1);
X0 = X0 - repmat(mean(X0, 2), 1, 250);
X1 = X1 - repmat(mean(X1, 2), 1, 250);
X2 = X2 - repmat(mean(X2, 2), 1, 250);

X = [X0 X1 X2];
y = [ones(1, size(X0, 2)) 2*ones(1, size(X1, 2)) 3*ones(1, size(X2, 2))];
data.X = X;
data.y = y;

figure
ppatterns(data);

% compute kernel PCA
kernelflag = 1;
if kernelflag == 1
    options.ker = 'rbf';
    options.arg = 2; % kernel argument
elseif kernelflag == 2
    options.ker = 'sigmoid';
    options.arg = [3 10]; % kernel argument
else
    options.ker = 'poly';
    options.arg = [2 0]; % kernel argument
end

options.new_dim = 2; % output dimension
model = kpca(data.X, options);
kpca_data = kernelproj(data, model);

figure
ppatterns(kpca_data);